250007 UE Einführung in die Analysis, Gruppe 3, Fr 10:15-12:00 im D1.01

Letztes update: 23. Jänner
Übungsbeispiele finden Sie hier.
Bisherige Quize: Quiz 1A, Quiz 1B, Quiz 2A, Quiz 2B, Quiz 3A, Quiz 3B, Quiz 4A, Quiz 4B.

Anm. zu Quiz 4: Schlüssel für die Berwertung der Kurvendiskussion. Extremwert, Wendepunkt, Nullstelle je 1 Pkt., Asymptoten insg. 3 Punkte, Skizze 2 Punkte.

Im Folgenden finden Sie Matrikelnummer, das Resultat von Quiz 4 und den derzeitigen Gesamtnotenstand. Ein Stern bedeutet, dass Sie mich noch kontaktieren bzw. in die letzte Übungsstunde kommen sollten, da entweder eine Tafelmeldung fehlt, oder zu viele Quize versäumt wurden. Jene Personen, deren Marikelnummer nicht angeführt sind, werden nach derzeitigem Stand nicht oder nur negativ beurteilt. Eine Person steht auf einer Zwischennote und sollte mich ebenfalls kontaktieren, falls sie die bessere Note haben will. Irrtümer sind nicht ausgeschlossen, bitte melden Sie sich gegebenfalls.

0909918 24 1
0908482 17 3
8530404 22 1
0908051 23 1
0909030 abwesend 2
0754129 abwesend 4
0225420 16 1
0902416 16 2
0901092 22 3
0806436 22 1
0904940 abwesend 2
0908318 23 2
0902657 24 2
0906988 19 2
0901662 14 3
0304791 20 1
0946204 22 1
0901834 12 3
0647871 18 2
0904900 20 3
0442175 19 2

Es wird in der letzten Übungsstunde am 29. keine neue Kreuzerlliste mehr geben, sondern die von der vorletzten Stunde. Wir werden außerdem Fragen zum Vorlesungsstoff besprechen. Bitte schicken Sie mir entsprechende Fragen vorher via Email. Am 29. Jänner gibt es eine Überschneidung mit der Prüfung in Linearer Algebra gibt.

Aussagen der Form "Für alle.....gibt es....." sind vielleicht schwierig und ungewohnt. Aber die Definiton von Konvergenz und Stetigkeit müssen alle ausnahmslos zu 100% beherrschen und verstehen. Bitte überprüfen Sie sich selbst. Es gab schon einen Fall, dass eine Person, die im ganzen Studium alle Prüfungen mit "Gut" oder "Sehr Gut" bestanden hatte, aber bei der Diplomprüfung die Frage "Was ist eine stetige Funktion?" nicht korrekt beantworten konnte. Daraufhin wurde sie mit "Nicht Genügend" beurteilt und muste ein zweites mal zur Diplomprüfung antreten.

Manche der Übungsbeispiele sind anspruchsvoll. Oft finden Sie sie im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, was aber nicht heißt, dass Sie sich dieses Buch unbedingt kaufen müssen. Sie können es sich gegebenenfalls in der Bibliothek ausleihen. Kommentare und Hinweise zu einzelnen Beispiele:

(87) Die Fixpunkt sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der 1. Mediane. Suchen Sie also einen Funktionsgraphen, der die 1. Mediane nicht schneidet.

(86) Ein Fixpunkt ist ein Punkt x mit f(x)=x. Ein Punkt der Periode 2 ist ein Punkt x mit f(f(x))=x.

(85) Zeigen Sie g(un)=ng(u) und g(u1/n)=1/n·g(u) für natürliche n und g(1)=0. Folgern Sie g(eu)=ug(e) für rationale Zahlen u. Aus der Stetigkeit oder aus der Monotonie von g lässt sich folgern, dass g(eu)=ug(e) ist, für alle reellen u. Setzen Sie jetzt u=log(x) und folgern Sie g(x)=g(e)·log(x).

(83) Zeigen Sie erst f(n)=an für ganze Zahlen n und f(1/2n)=a/2n für natürliche Zahlen n. Dann zeigen Sie f(x)=ax für Zahlen der Form x=k/2n. Jede reelle Zahlen ist Limes einer Folge solcher Zahlen. Mithilfe der Stetigekeit erhalten Sie f(x)=ax für alle reellen x.

(81)
a) Wir wissen, dass e<(1+1/n)n+1 und (1+1/n)n<e (woher?). Nachdem Sie bei diesen Ungleichungen ensprechende Wurzeln ziehen, bekommen Sie e1/(n+1)<1+1/n1/n und logarithmieren.
b) Die ersten 2n Glieder der alternierenden Summe sind gleich 1+1/2+1/3+...+1/(2n)-2(1/2+1/4...+1/(2n))=1/(n+1)+...+1/(2n).
Aus (a) folgt log(1+1/k)< 1/k< log(1+1/(k-1)). Summieren Sie bei dieser Ungleichung über k für k=n,...,2n. Wenn Sie die erhaltenen Terme vereinfachen (Rechenregeln für Logarithmen anwenden, Brüche addieren und kürzen), erhalten Sie wieder eine dreifache Ungleichung, deren obere und untere Schranke gegen log(2) konvergieren und deren mittlerer Term 1/n+1/(n+1)+...+1/(2n) ist.

(79) Zeigen Sie erst die Ungleichung 2(√k+1- √k)< 1/√k < 2(√k- √k-1) . Bei der linken Ungleichung summieren Sie über k von 1 bis n und erhalten sogar eine stärkere Aussage als gesucht. Bei der rechten Seite summieren Sie über k von 2 bis n und addieren dann 1 auf beiden Seiten.

(78) Substiutieren Sie y=xh-1. Dann ist (xh-1)/h=log(x)·y/log(1+y). Wenn y gegen 0 konvergiert, dann konvergiert letzterer Ausdruck gegen log(x), weil log(1+h)1/h gegen log(e)=1 konvergiert.

(71) Formen Sie in der Reihe von e(x+y) den Ausdruck (x+y)n mit dem Binomischen Lehrsatz um und kürzen Sie den Binomialkoeffizienten mit dem Nenner n!.
Dann formen Sie e(x)e(y) mit der Cauchy-Produktformel um und erhalten die gleiche Reihe.

(68) e) geht nicht. Argumentieren Sie warum das nicht funktioniert.

(66) Zeigen Sie, dass f(x+ε)-f(x)>0 ist für alle x≥21/4. Wenden Sie dazu den Binomialsatz an und vereinfachen Sie den Ausdruck.

Ein hilfreicher Exkurs: Eine reelle Funktion heißt gerade, wenn f(x)=f(-x) für alle x.
Eine reelle Funktion heißt ungerade, wenn f(x)=-f(-x) für alle x.
Polynome mit nur geraden od. nur ungeraden Potenzen sind gerade bzw. ungerade Funktionen. Produkte bzw. Quotienten von zwei geraden oder zwei ungeraden Funktionen sind gerade. Produkte bzw. Quotienten von einer geraden und einer ungeraden Funktion sind ungerade.
Sei c eine Konstante und f gerade oder ungerade Funktion. Dann sind die Monotoniebereiche von f(x)+c symmetrisch bezüglich der y-Achse, wobei das Monotnieverhalten bei geraden Funktionen spiegelsymmetrisch umgekehrt bzgl. der y-Achse ist.

Daraus schließen wir: x5-10x+5 ist von der Form "ungerade Funktion plus Konstante". Daher reicht reicht, das Monotonieverhalten nur im positiven Bereich zu bestimmen.

(56) (1+2/n)n=((1+1/(n/2))n/2)2

(55) (1+1/n2)n=((1+1/n2)n2)1/n

(48) (schwer) Ein möglicher Lösungsweg: Sei xn das n-te Folgenglied. Zeige, dass es ein q, 0<q<1, und eine Zahl N gibt, sodass xn+1/xn<q ist für alle n≥N. Leite daraus ab, dass ab dem Index N die Folge xN·qn (n→∞) eine konvergente Majorante ist, d.h. dass xN·qn≥xn ist, und daher die Folge (xn) gegen Null konvergiert.

(45) a=√(2+a)

(42) Argumentieren zuerst Sie erst anschaulich, warum welche Folge wohin konvergiert. Den formalen Beweis führen Sie am besten erst, wenn Sie schon wissen, was der Grenzwert sein wird, sonst rechnen Sie wie im Blindflug und kommen auf kein Ergebnis.
D.h.: Zuerst denken, dann den Beweis aufschreiben.
(42a) Wir vermuten, dass sich diese Folge im Unendlichen an die Folge n1/n annähert. Deren Grenzewert ist, wie Sie in der Vorlesung gelernt haben, 1. Also wollen wir jetzt beweisen, dass die Lösung 1 ist. Dazu der Hinweis: (1+n)1/n=((1+n)1/(1+n))(1+n)/n.
(42b) 2=(2n)1/n≤ (1+2n)1/n< (2·2n)1/n = 21/n (2n)1/n=21/n·2.
(42c) Verwenden sie die Formel a-b=(a2-b2)/(a+b).

(41) Berechnen sie ein paar Ziffern der Kettenbruchentwicklung und versuchen Sie dann die Lösung zu erraten. Wir werden keinen formalen Beweis dazu besprechen.

(40) Lesen Sie dazu etwas über den Goldenen Schnitt und verwenden Sie G=1/(1+G).

(38) Das ist eine geometrische Reihe. Für welche Werte von q ergibt die unendliche geometrische Reihe einen Intervallschachtelung? (D.h.: Für welche Werte q konvergiert sie?)

(37) Welche Zahl das ist, müssen sie nicht beweisen. Versuchen Sie das zu erraten, vielleicht mit Hilfe eines Taschenrechners. Oder lesen Sie etwas über den Arcus Tangens.

(31) In der Angabe ist ein kleiner Fehler. Es heißt yn+1=2/xn+1 nicht yn+1=2/xn. Allerdings folgt das ohnehin aus xnyn=2 für n+1 statt n. Zeigen Sie, dass die Ungleichungskette erfüllt ist. Den Zusatz "Wieviele Iterationsschritte..." müssen sie nicht lösen, das ist freiwillig.

(26c) Unterscheiden Sie zwei Fälle. Fall 1: |a|-|b|≥0, und setzen Sie a'=a-b in Beispiel (a) ein.

(26-30) Als Definition für den Betrag können Sie entweder die Definition mit min/max verwenden oder jene mit der Fallunterscheidung verwenden. Versuchen Sie eine möglichst strenge und formal vollständige Beweisführung anzugeben.

(2) Kurvendiskussionen von Funktionen der Form f(x)=sin(x)/x sind nicht mit Mitteln bewältigbar, die Sie aus der Schule kennen. Versuchen Sie aber Asymptoten von rationalen Funktionen (Polynom durch Polynom) in den folgenden Fällen zu verstehen:

1) Nennergrad größer als Zählergrad: X-Achse ist Asymptote.
2) Nennergrad = Zählergrad: Asymptote a(x)=c, parallel zur X-Achse.
3) Nennergrad+1 = Zählergrad: Asymptote a(x)=kx+d, die Asymptote ist eine Gerade.
3) Nennergrad+2 = Zählergrad: Asymptote a(x)=bx^2+cx+d, die Asymptote ist eine Parabel.

Weitere senkrechte Asymptoten ergeben sich durch Polstellen.
Suchen Sie dazu Beispiele im Internet oder in Lehrbüchern und führen sie Polynomdivisionen durch.


Analysis 1 ist vielleicht der wichtigste Kurs Ihres Mathematik-Studiums. Sie müssen regelmäßig den Stoff der Vorlesung mitlernen und regelmäßig sich eigenständig mit den Beispielen der Übung auseinandersetzen. Dass Sie sich eigenständig Gedanken zu den von Ihnen an der Tafel präsentierten Beispielen machen, ist wichtiger als das korrekte Resultat. Angekreuzt wird nur mit "Kreuzerl" nicht mit "Ringerl". Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Ihre Lösung richtig ist, kreuzen Sie es an, sofern Sie sich ernsthaft Gedanken zu dem Problem gemacht haben.

Bei Abwesenheit kontaktieren Sie mich bitte vor der Übungsstunde per Email oder Telefon (01/4277-50647 od. 0680/1285929). Sie haben dann die Möglichkeit die Beispiele schriftlich abzugeben und mit mir zu besprechen.

Wenn Sie Probleme mit den Beispielen habe, kommen Sie in die Sprechstunde oder machen Sie sich einen Termin aus um sich Tipps zu holen oder Fragen zu stellen. Sie können mich jederzeit auch außerhalb der Sprechstunde spontan kontaktieren, sofern ich gerade Zeit habe.

Zwischenstand der Kreuzerlliste (Stand nach Freitag 15.01.2010), gewertete Beispiele: 76 (=100%). Es sollten alle TeilnehmerInnen mindestens 3 mal an der Tafel gewesen sein. Alle Angaben ohne Gewähr.

0909918 53
0908482 52 (erst 2 Tafelmeldungen)
8530404 66
0908051 59
0909030 59
0754129 43
0225420 73
0902416 57
0901092 57 (erst 2 Tafelmeldungen)
0806436 60
0904940 58
0908318 42
0902657 48
0906988 52 (erst 1 Tafelmeldung)
0901662 58
0304791 58
0946204 63
0901834 56
0647871 59
0904900 44
0442175 61