WS 13/14, Analysis in einer Variablen f. LAK

ACHTUNG: Ab dem 3. Prüfungstermin am 2. Mai gibt es nur noch die schriftliche und keine mündliche Prüfungen mehr.

Die LV im Vorlesungsverzeichnis. Sie ist die Fortsetzung der VO Einführung in die Analysis im SS 2013.

Von den Kandidaten mit mündlicher Prüfung am 22. März dürfen zur mündlichen Prüfung nicht antreten:
1205981 (41 Punkte)
1268078 (37 Punkte)

Derzeit verfügbare Tage, an denen nach Absprache via Email weitere mündliche Prüfungen absolviert werden können: Samstag 8. März, Freitag 2. Mai.

Zweiter Termin (schriftlich): Mo 3. März 12:00-14:00 HS 04. Mündliche Prüfungen dazu am Samstag 8. März.
Dritter Termin (nur schriftlich!): Fr 2. Mai 10:00-12:00 HS 04
Vieter und letzter Termin (nur schriftlich!): Do 3. Juli 10:00-12:00 HS 01

Das Skriptum zur Einführung in die Analysis kann in diesem Semester leider nicht fortgesetzt werden, jedoch werden die Kapitelnummerierungen fortgesetzt. Anstelle des Skriptums werden manche Vorlesungen über u:stream aufgezeichnen und online gestellt:

Vorlesung am 21.10.2013 (Regel von de l'Hospital, 1. Teil Konvexität)
Vorlesung am 28.10.2013 (2. Teil Konvexität, Satz von Taylor)
Vorlesung am 04.11.2013 (Potenzreihen, gleichmäßige Konvergenz)
Vorlesung am 02.12.2013 (Riemann Integral, 2. Teil)

Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5
Übungsblatt 6

Bitte registrieren Sie sich für die Kreuzerlliste. Welche Beispiele für die nächste Stunde vorzubereiten sind, erfahren Sie dort.

Fragenkatalog zur Analysis in einer variablen für LAK (wird laufend ergänzt). Fragen mit einem * sollten von allen beantwortet werden, die die Noten 1 oder 2 anstreben.

1. Was ist eine lokale Extremstelle einer reellen Funktion? Was besagen der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz? Beweisen Sie beide Sätze.

2. Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion konstant ist, wenn ihre Ableitung überall Null ist. Leiten Sie daraus ab: Wenn f'(x)=c·f(x) ist, dann gibt es eine Zahl a, sodass f(x)=a·ecx ist.

3. Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz.

4. Es sei f eine differenzierbar Funktion auf einem Intervall. Zeigen Sie, dass die Funktion steigend ist, wenn ihre Ableitung überall positiv ist. Zeigen Sie außerdem: Wenn f'(x)=0 und f''(x)<0 für ein x in diesem Intervall, dann ist dieses x ein lokales Maximum. Ohne Beweis: Wie kann anhand höherer Ableitungen festgestellt werden, ob f in x ein Maximum oder Minimum hat, wenn f'(x)=f''(x)=0 ist?

5. Wie lautet die Regel von de l'Hospital? Wenden Sie die Regel in Beispielen an.

*6. Beweisen Sie die Regel von de l'Hospital.

7. Wie sind Konvexität und Konkavität einer reellen Funktion definiert? Wie hängen diese Eigenschaften mit der zweiten Ableitung zusammen (mit Beweis)?

8. Wie lautet der Satz von Taylor? Bestimmen Sie Taylorentwicklungen zu gegebenen Funktionen (Polynome bestimmter Länge mit Restglied oder ganze Reihen).

*9. Beweisen Sie den Satz von Taylor.

10. Definieren Sie punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge. Zeigen Sie, dass der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktinen stetig ist. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das im Allgemeinen nicht für punktweise konvergente Folge stetiger Funktinen gilt.

11. Formulieren Sie unter Verwendung der gleichmäßigen Konvergenz ein Kriterium dafür, wann bei einer Funktionenfolge der Grenzwert der Ableitungen gleich der Ableitung ihres Grenzwerts ist. Geben Sie alle Voraussetzungen exakt an.

*12. Wie 11, jedoch mit Beweis.

13. Was besagen das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz und der Staz von Weierstraß? Wie folgt aus dem Cauchy-Kriterium der Satz von Weierstraß? Wenden Sie den Satz von Weierstraß für gegebene Beispiele an.

14. Was ist eine Potenzreihe? Bestimmen Sie zu gegebenen Beispielen den Konvergenzradius. Es sei x0 der Mittelnkt der Reihenentwicklung und r der Konvergenzradius. Auf wechen Kreisscheiben mit Mittelpunkt x0 ist die Reihe gleichmäßig konvergent.

15. Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe (genauer: ihre Summenfunkion) im Inneren ihres Konvergenzbereichs beliebig oft differenzierbar ist. Sie können dafür allgemeinere Sätze über gleichmäßige Konvergenz verwenden, sofern Sie diese mit allen entsprechenden Voraussetzungen formulieren.

16. Formulieren und beweisen Sie den Identitätssatz für Potenzreihen.

17. Definieren Sie: Feinheit einer Zerlegung, Treppenfunktion, Riemann-Integral, Ober- und Untersumme einer reellen Funktion auf einem kompakten Intervall. Bestimmen Sie Ober- und Untersummen bzw. oberes und unteres Integral einer gegebenen reellen Funktion.

*18. Zeigen Sie, dass jede reelle stetige Funktion auf einem kompakten Intervall integrierbar ist.

19. Formulieren und beweisen Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

20. Formulieren und beweisen Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (zwei Teile).

21. Beweisen Sie Regel für partielle Integration und Integration durch Substitution. Wenden Sie diese Regeln für Beispiele an (z.B. Bestimmung Kresifl.

22. Definieren Sie uneigentliche Integrale 1. und 2. Art. Bestimmen Sie, welche Arbeit eine Rakete leistet, die von der Erdoberfläche in das Weltall hinaus aus dem Anzieghungsbereich der Erde fliegt.

23. Zeigen Sie, dass das Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale genau dann erfüllt ist, wenn das uneigentliche Integral konvergiert.

24. Formulieren und beweisen Sie das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.

25. Formulieren und beweisen Sie das Integralkriterium für Reihen und wenden Sie Sei es an gegebenen Beispielen an.

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