040100 VO Mathematik 2
 

• Überblick Optimierungsprobleme
  (inkl. Einführung in die Lineare Programmierung: Modellformulierung, Annahmen, grafische Lösung)
  (Skriptum Kap. 2.2, Anhang B, Kap. 10: bis inkl. 10.1.4, 10.1.7;
  Grafik zum Beispiel in Anhang B, Portfoliooptimierung und Annahmen von LP: zusätzliche Folien in Moodle)
• Reellwertige Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap. 3.1 (bis inkl. 1.Beispiel auf S.17);
  grafische Darstellung von Funktionen in 2 Variablen: zusätzliche Folien in Moodle)

Wiederholen Sie folgende Kapitel aus Mathematik 1 (siehe Skriptum, Aufgabe auf S.6)

• Differentialrechnung
• Kurvendiskussion
• Taylor-Approximation
• Matrizenrechnung:
  • Determinanten
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Definitheit von Matrizen
  • Rang einer Matrix
• lineare Gleichungssysteme

• Reellwertige Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap.3.1, S.18f)
• Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen (Skriptum Kap. 3.3)
  • Partielle Ableitungen, abnehmende Grenzzuwächse
  • Differenzierbarkeit, Ableitung, Gradient, Stetigkeit
• Vektorwertige Funktionen (Skriptum Kap. 3.4)
  • Grafische Darstellung (Skriptum Kap. 3.4.1)

• Vektorwertige Funktionen (Skriptum Kap. 3.4)
  • Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, Jacobi-Matrix (Skriptum Kap. 3.4.2)
  • Kettenregel (Skriptum Kap. 3.4.1, zusätzliche Folie in Moodle)
• Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.1)
• totales Differential (Skriptum Kap. 3.5.2)
• Gradient: geometrische Interpretation (Skriptum Kap. 3.5.3)
• offene Mengen (Skriptum Kap. 3.2)
• 2.Ableitung: Hesse-Matrix (Skriptum Kap. 3.5.4)
• 2.Richtungsableitung (Skriptum Kap. 3.5.6)

• 2.Richtungsableitung: Beispiel (Skriptum Kap. 3.5.6, zusätzliche Folie in Moodle)
• Zusammenhang mit Optimierung (Skriptum Kap.2.1, 3.5.6)
• Wiederholung aus der Linearen Algebra (Mathematik 1, Skriptum Anhang A.4, insbes. A.4.2):
  Definitheit von Matrizen (Definition mittels quadratischer Formen, Bestimmung mittels Eigenwerten und (führenden) Hauptminoren), geometrische Interpretation der Eigenvektoren
• Konvexität:
  • konvexe Mengen, Konvexkombinationen, konvex Hülle (Skriptum Kap.4.1)
  • Innere Punkte, Randpunkte einer Menge (Skriptum Kap.3.2)
  • Konvexe und konkave Funktionen (Skriptum Kap.5, zusätzliche Folien in Moodle)
    • Definition
    • Epigraph, Niveaumengen (Konturmengen)
    • Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen

1. Zeigen Sie, dass die Funktionen v(x₁, x₂) und var(x₁, x₂, x₃) des einleitenden Beispiels "Portfoliorisiko mit 3 Wertpapieren" in jeder Richtung konvex sind, wobei var(x₁, x₂, x₃) = s_P² der Ausdruck für die Varianz der Portfoliorendite ist, wo x₃ nicht durch x₁, x₂ substituiert wurden.
2. Überprüfen Sie die Gleichung der Tangentialebene für die erste Funktion auf der Folie "7_Eigenschaften differenzierbarer konvexer und konkaver Funktionen.pdf" (siehe Moodle "Ergänzende Folien").

• Beispiele zu konvexen und konkaven Funktionen (Skriptum Kap. 5.2, Beispiele 1-3, zusätzliche Folie in Moodle)
• Optimierung von Funktionen in mehreren Variablen (Skriptum Kap.6)
  • Definition lokales/globales Maximum/Minimum, Maximizer/Minimizer
  • lokale Extrema, kritische Punkte (Skriptum Kap.6.1, zusätzliche Folie in Moodle)
  • Komparative Statik und das Envelope-Theorem (Skriptum Kap.6.1.1, 6.2)
• Inverse und implizite Funktionen (Skriptum Kap.7): Grundproblem

Wiederholen Sie aus Mathematik 1, wie man die Ableitung der inversen Funktion berechnet!

• Inverse und implizite Funktionen (Skriptum Kap.7, zusätzliche Folien in Moodle)
  • Inverse Funktionen
  • Exkurs: Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
  • Satz über implizite Funktionen
  • Beispiele
• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Skriptum Kap.8)
  • Problemformulierung, einführende Beispiele, grafische Diskussion (bis S.100)
    (Beispiel aus Einleitung: zusätzliche Folien in Moodle)

• Zeigen Sie für das Beispiel auf S.91, dass sich y in einer Umgebung von x=0 als Funktion von x darstellen lässt und berechnen Sie y'(0).
• Aufgabe auf S.97

• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Skriptum Kap.8)
  • Heuristische Herleitung der notwendigen Bedingungen (Skriptum Kap.8.1)
    
  • Interpretation des Lagrange-Multiplikators (Skriptum Kap.8.2)
  • Beispiele (siehe auch Moodle)
  • Bedingungen zweiter Ordnung (Skriptum Kap.8.3)
  • Beispiele (Aufgaben 1, 2, Skripum S.109)

• Aufgaben, Skriptum, S.109: "Portfoliorisiko mit 3 Wertpapieren"; Aufgaben 3, 4

• Optimierung unter Gleichheits-Nebenbedingungen: Die Methode von Lagrange (Skriptum Kap.8)
  • Sätze über globale Optima (Skriptum Kap.8.4)
  • Quasikonkavität und Quasikonvexität (Skriptum Kap.8.5)
  • Bemerkungen zur Substitutionsmethode (Skriptum Kap.8.6)
• Ökonomische Anwendungen der Methode von Lagrange und Interpretationen (Skriptum Kap.8.7)

1. Lösen Sie das Beispiel im Skriptum S.111 mit der Methode von Lagrange und überprüfen Sie die Bedingungen 2.Ordnung.
   Zeigen Sie, dass L(x₁, x₂, λ^*) konkav und die gefunden Lösung somit ein globales Maximum ist.

2. Aufgabe 1 für f₂(x₁, x₂) und f₃(x₁, x₂) von S.113.

3. Lösen Sie das Beispiel von Abschnitt 8.1 (S.99) mit der Substitutionsmethode.
   Zeigen Sie, dass es sich bei der gefunden Lösung um ein Maximum handelt und vergleichen Sie die Bedingung 2.Ordnung mit jener der Methode von Lagrange (siehe S.109).

4. Lösen Sie das Beispiel von Abschnitt 8.6 (S.117) mit der Methode von Lagrange und mit der Substitutionsmethode.
   Überprüfen Sie jeweils mittels Bedingungen zweiter Ordnung, ob es sich um lokale Maxima oder Minima handelt.
   Vergleichen Sie die Bedingungen zweiter Ordnung der Methode von Lagrange mit jenen, die sie bei der Substitutionsmethode erhalten.
   Zeigen Sie, dass L(x₁, x₂, λ^*) weder konvex noch konkav ist.
   (Das Problem besitzt weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum. Siehe 3D-Grafik in Moodle (Folien ergänzend zum Skriptum -> Beispiel_Kap.8.6.jpg).

5. Zeigen Sie für die Beispiele aus Abschnitt 8.7.2, die wir in der heutigen VO besprochen haben, mittels berandeter Hesse-Matrix, dass es sich um lokale Maxima bzw. Minima handelt.

• Nichtlineare Programmierung und die Kuhn-Tucker-Bedingungen (Skriptum, Kap.9)
  • konvexes Program, einführende Beispiele (Skriptum, Kap.9.1)
  • Eigenschaften konvexer Programme (Skriptum, Kap.9.1)
  • Kuhn-Tucker-Bedingungen für Funktionen in einer Variablen (Skriptum, 9.2, S.135-136)
  • Kuhn-Tucker-Bedingungen, Regularitätsbedingungen (Skriptum, 9.2)
  • Formulierung der KTB, wenn eine NB als Gleichung vorliegt, bzw. wenn keine VZ-Restriktion erfüllt sein muss
  • Variablentransformation bei nicht-vorzeichenbeschränkten Variablen in vorzeichenbeschränkte Variable (Skriptum, Kap.9, S.130)
  • Sattelpunktbedingung (Skriptum, Kap.9, S.130)

• Aufgaben Skriptum S.133, 141 (teilweise schon in der VO besprochen), 142

• Zeigen Sie für Beispiel 1 aus Kap. 9.1, dass (x^*, λ^*) ein Sattelpunkt ist.

  Hinweis: Um die zweite Ungleichung der Sattelpunktbedingung zu zeigen, verwenden Sie die Beziehung x₂ = 1 - x₁ und zeigen Sie, dass L(x^*, λ^*) in x = (0.5, 0.5) ein Minimum hat.

• Lineare Programmierung (Skriptum, Kap.10)
  • Definition eines LP (Skriptum, Kap.10, S.170)
  • Darstellung eines LP im Matrixschreibweise (Skriptum, Kap.10.1.6)
  • grafische Lösung (Wiederholung) (Skriptum, Kap.10.1.4)
  • Formulierung der Nebenbedingungen als Gleichungen (Skriptum, Kap.10.1.5)
  • Normalform, Allgemeine Form eines LP (Skriptum, Kap.10.1.5, 10.5.1)
  • Basislösungen, Basisvariablen, Basis (Skriptum, Kap.10.1.5)
  • Enumerationsverfahren (Skriptum, Kap.10.1.5)
  • Charakterisierung der Menge der zulässigen und der optimalen Lösungen (inkl. Mehrdeutigkeit der optimalen Lösung), Eckentheorem (Skriptum Kap.10.2)
  • Sonderfälle: keine zulässige Lösung, keine optimale Lösung, mehrere zulässige Lösungen, degenerierte Basislösungen (Skriptum Kap.10.4, Fälle 1-3, nur grafisch)
  • spezielles Maximumsproblem (Skriptum Kap.10.3.1)
  • Simplexmethode (Skriptum Kap.10.3)

• Lineare Programmierung (Skriptum, Kap.10)
  • formaler Aufbau der Simplextableaus (Skriptum, Kap.10.5.2)
  • Interpretation der Simplextableaus (Skriptum Kap.10.6)
  • Mehrdeutigkeit optimaler Lösungen (Skriptum Kap.10.4, Fall 1(a))
  • Dualität (Skriptum Kap.10.7), KTB für LP (Skriptum Kap.10.7, bis 10.7.1)
    Beispiel (Skriptum Kap.10.7.1)
    Dualitätssätze, komplementäre Schlupfbedingungen (Skriptum Kap.10.7.2)
    degenerierte Basislösung, unbeschränktes LP (Skriptum Kap.10.4, Fälle 1(b), 2)

• Schreiben Sie zu jedem Simplextableau auf S.197 das zugehörige Gleichungssystem an.
• Geben Sie zu jedem Simplextableau auf S.188 und S.197 folgendes an:
  Basisvariablen, Basismatrix, Inverse der Basismatrix, Vektoren x_B, c_B.
  
• Überprüfen Sie die Struktur der Tableaus mit Hilfe der im Tableau auf S.199 angegebenen Ausdrücke.
• Formulieren Sie die dualen Programme zu den LPen von Beispielen 1 und 2 in Kap.10.1 (Kap. 10.1.1, 10.1.7).
• Betrachten Sie das optimale Simplextableau von Beispiel 1 und geben Sie die optimale Lösung des dualen Programms an.
• Lösen Sie das duale Programm von Beispiel 2 mittels Simplexverfahren.
• Lösen Sie das duale Programm von Beispiel 2 mittels komplementärer Schlupfbedingungen.

• Lineare Programmierung (Skriptum, Kap.10)
  • Preistheorem (Skriptum Kap.10.7.2)
  • Ökonomische Interpretation des Duals und der KTB (Skriptum Kap.10.7.3, 9.8)
  • Interpretation eines Computeroutputs (Skriptum Kap.10.8; LINDO)
  • Grundideen der Sensitvitätsanalyse (Skriptum Kap.10.5, nur grafisch)