Was logarithmiert werden kann und was nicht
Was ist der Logarithmus von 100? Okay, das war noch leicht. Aber jetzt wird’s schwieriger: Was ist der Logarithmus von 100 Metern? Anders ausgedrückt: Wie oft muß die Basis 10 als Faktor auftreten, um 100 Meter zu ergeben?
Jetzt stocken Sie, nicht war? Die Versuchung ist zwar groß, die gleiche Antwort wie zuerst zu geben, aber eine strenge innere Stimme sagt Ihnen, daß Sie die Zahl 10 noch so oft mit sich selbst multiplizieren können, es kommen immer nur wieder Zahlen heraus, nie auch nur ein einziger Meter (von 100 Metern ganz zu schweigen).
Dennoch haben die meisten von uns kaum Hemmungen, Größen aller Art mit leichter Hand zu logarithmieren, seien es nun Längenangaben, oder gar Konzentrationen: Viele können quasi im Schlaf hersagen, daß man unter dem pH-Wert den negativen „Logarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration“ versteht. Darüber scheint sich niemand aufzuregen.
Der pH-Wert 7.0 würde z.B. eine Konzentration an H+-Ionen bedeuten, die sich ergibt, wenn der Reziprokwert von 10 (also 1/10) 7 Mal als Faktor auftritt. Aber lassen Sie 1/10 ruhig 7 Mal hintereinander als Faktor auftreten: Der Ausdruck 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 läßt nirgends erkennen, daß es sich hier um eine Konzentrationsangabe handelt (also um Mol pro Liter). Die Zahl 7 gibt nur an, wie oft eine bestimmte Basis (bei 10er-Logarithmen die Zahl 10, oder 1/10 bei negativen Logarithmen) als Faktor auftreten muß, um die zu logarithmierende Größe zu ergeben.
Wenn das Ergebnis mehr sein soll als eine bloße Zahl (also z.B. Meter, oder eine Konzentration), so müßte diese Eigenschaft in einer geeigneten Form schon in der Basis enthalten sein, nicht im Exponenten, in dem es nur mehr um das Abzählen wiederholt auftretender Faktoren geht.
Auf Grund dieser Überlegungen könnten wir jetzt den Versuch machen, die Frage nach dem Logarithmus von 100 Metern unter Zuhilfenahme einer speziellen Basis zu beantworten: Nachdem 10 Wurzel aus Meter * 10 Wurzel aus Meter genau 100 Meter ergibt, haben wir mit dem Ausdruck 10 Wurzel aus Meter eine Basis gefunden, die genau 2 Mal als Faktor auftreten muß, um das gewünschte Resultat 100 Meter zu ergeben. Die Antwort auf die Frage „Was ist der Logarithmus von 100 Metern?“ könnte somit lauten: „Der Logarithmus zur Basis 10 Wurzel aus Meter von 100 Metern ist 2“. Leider haben wir nicht gut genug zugehört: Es war nach dem Logarithmus gefragt, also nach dem Logarithmus zur Basis 10, nicht nach dem Logarithmus zur Basis 10 Wurzel aus Meter.
Sie würden lieber nach dem Logarithmus von 100 Quadratmetern gefragt werden? Geben Sie sich keinen falschen Hoffnungen hin. Mag sein, daß 10 Meter * 10 Meter netter aussieht als 10 Wurzel aus Meter * 10 Wurzel aus Meter, aber was ändert das? Es hat uns schließlich auch niemand nach einem Logarithmus zur Basis 10 Meter gefragt, sondern nur nach einem Logarithmus zur Basis 10.
Nehmen wir ein anderes, noch deutlicheres Beispiel: Was ist der Logarithmus von 1000 Stenotypistinnen? Wie oft muß die Basis 10 als Faktor auftreten, um 1000 Stenotypistinnen zu ergeben? Kommen Sie mir jetzt nicht mit dem Vorschlag, aus einer Stenotypistin die Wurzel zu ziehen (oder gar die Kubikwurzel). Das führt zu nichts. In Wahrheit können wir 1000 Stenotypistinnen niemals logarithmieren (sie würden sich das auch auf das Entschiedendste verbitten), sondern wir können einzig und allein jenen Faktor logarithmieren, um den 1000 Stenotypistinnen mehr sind als eine. Genauso wenig können wir 100 Meter oder 1/10.000.000 Mol/Liter logarithmieren: Wir können nur jenen Faktor logarithmieren, um den 100 Meter mehr sind als einer, und um den 1/10.000.000 Mol/Liter (in diesem Fall) weniger sind als 1 Mol/Liter.
(MB 1/99)