External particles and definition of scalar products:

\({\(K\_+\)[p], \(W\_-\)[q], π\_0[r]}\)

{sp[q, q] -> t, 
      sp[r, q] -> (1/2) (-t + (Subscript[M, K]^2) - (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[p, q] -> (1/2) (-t - (Subscript[M, K]^2) + (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[p, r] -> (1/2) (t - (Subscript[M, K]^2) - (Subscript[M, π]^2)), 
      (p^μ) -> (1/2) ((P^μ) + (q^μ)), 
      (r^μ) -> (1/2) (-(P^μ) + (q^μ))}

Complete amplitude to 0(p^4):

\(G\_F\ l\_μ\ V\&^\_us\ \((P\^μ\/2 + \(2\ q\^μ\ L\_5\%r\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\)\/F\_π\%2 + \(L\_9\%r\ \((P\^μ\ t + q\^μ\ \((\(-M\_K\%2\) + M\_π\%2)\))\)\)\/F\_π\%2 + \(\((t - 5\ M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((P\^μ\ t + q\^μ\ \((\(-M\_K\%2\) + M\_π\%2)\))\)\)\/\(192\ π\^2\ t\ F\_π\%2\) - \(\((\(-2\)\ q\^μ\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((t - 4\ M\_K\%2 + 2\ M\_π\%2)\) + P\^μ\ t\ \((t - 8\ M\_K\%2 + 4\ M\_π\%2)\))\)\ A\&_[M\_K\%2]\)\/\(8\ t\ F\_π\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\) - \(\((P\^μ\ t\ \((t - 4\ M\_K\%2)\) + 4\ q\^μ\ \((t + M\_K\%2)\)\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\))\)\ A\&_[M\_π\%2]\)\/\(16\ t\ F\_π\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\) + \(3\ \((P\^μ\ t\ \((t - 4\ M\_K\%2)\) + 4\ q\^μ\ M\_K\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\))\)\ A\&_[M\_η\%2]\)\/\(16\ t\ F\_π\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\) + \(1\/\(144\ t\^2\ F\_π\%2\)\) \((\((P\^μ\ t\ \((M\_K\%4 + \((3\ t + M\_π\%2)\)\^2 - 
                          2\ M\_K\%2\ \((21\ t + M\_π\%2)\))\) - 
                    4\ q\^μ\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((M\_K\%4 + 
                          3\ t\ M\_π\%2 + M\_π\%4 - 
                          M\_K\%2\ \((9\ t + 2\ M\_π\%2)\))\))\)\ B\&_[t, 
                  M\_K\%2, 
                  M\_η\%2])\) + \(1\/\(16\ t\^2\ F\_π\%2\)\) \((\((\(-4\)\ q\^μ\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((\(-t\^2\) + M\_K\%4 - 
                          2\ M\_K\%2\ M\_π\%2 + M\_π\%4)\) + 
                    P\^μ\ t\ \((M\_K\%4 + \((t - M\_π\%2)\)\^2 - 
                          2\ M\_K\%2\ \((t + M\_π\%2)\))\))\)\ B\&_[t, 
                  M\_π\%2, M\_K\%2])\))\)\)

Runtime:  0.2475 hours

External particles and definition of scalar products:

\({\(K\_-\)[p\_1], \(π\_+\)[q\_1], π\_0[q\_2]}\)

{sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[q, 1])] -> -((Subscript[M, K]^2)/2), 
      sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[q, 2])] -> -((Subscript[M, K]^2)/2), 
      sp[(Subscript[q, 1]), (Subscript[q, 2])] -> ((Subscript[M, K]^2)/2) - (Subscript[M, π]^2), 
      sp[(Subscript[q, 1]), (Subscript[q, 1])] -> (Subscript[M, π]^2), sp[(Subscript[q, 2]), (Subscript[q, 2])] -> (Subscript[M, π]^2), 
      sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 1])] -> (Subscript[M, K]^2)}

Complete amplitude to 0(p^4):

\(I\ \(G\&^\)\_27\ \((5\/3\ F\_π\ \((M\_K\%2 - 
                M\_π\%2)\) - \(80\ L\_4\%r\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((2\ M\_K\%2 + M\_π\%2)\)\)\/\(3\ F\_π\) - \(20\ L\_5\%r\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((M\_K\%2 + 3\ M\_π\%2)\)\)\/\(3\ F\_π\) + \(5\ \((M\_K\%4 - 3\ M\_K\%2\ M\_π\%2 + 2\ M\_π\%4)\)\)\/\(96\ π\^2\ F\_π\) + \(5\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((M\_K\%2 + 4\ M\_π\%2)\)\ \(R\&^\)\_8\%r\)\/\(3\ F\_π\) + \(5\ M\_K\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \(R\&^\)\_9\%r\)\/\(3\ F\_π\) + \(10\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \((2\ M\_K\%2 + M\_π\%2)\)\ \(R\&^\)\_10\%r\)\/\(3\ F\_π\) + \(20\ M\_π\%2\ \((M\_K\%2 - M\_π\%2)\)\ \(R\&^\)\_12\%r\)\/\(3\ F\_π\) + \(5\ \((3\ M\_K\%2 + M\_π\%2)\)\ A\&_[M\_K\%2]\)\/\(12\ F\_π\) - \(5\ \((4\ M\_K\%4 - 22\ M\_K\%2\ M\_π\%2 + 29\ M\_π\%4)\)\ A\&_[M\_π\%2]\)\/\(24\ F\_π\ M\_π\%2\) + \(5\ M\_π\%2\ A\&_[M\_η\%2]\)\/\(8\ F\_π\) - \(5\ \((M\_K\%4 - 3\ M\_K\%2\ M\_π\%2 + 2\ M\_π\%4)\)\ B\&_[M\_K\%2, M\_π\%2, M\_π\%2]\)\/\(6\ F\_π\) + \(5\ M\_K\%4\ \((\(-M\_K\%2\) + M\_π\%2)\)\ B\&_[M\_π\%2, M\_K\%2, M\_η\%2]\)\/\(72\ F\_π\ M\_π\%2\) - \(5\ M\_K\%2\ \((5\ M\_K\%4 - 13\ M\_K\%2\ M\_π\%2 + 8\ M\_π\%4)\)\ B\&_[M\_π\%2, M\_π\%2, M\_K\%2]\)\/\(24\ F\_π\ M\_π\%2\))\)\)

Runtime:  2.10056 hours

External particles and definition of scalar products:

{(Subscript[K, 0])[p], (Subscript[π, 0])[(Subscript[p, 1])], γ[(Subscript[k, 1])], γ[(Subscript[k, 2])]}

{sp[p, (Subscript[p, 1])] -> (1/2) (s - (Subscript[M, K]^2) - (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[k, 1]), (Subscript[k, 2])] -> (s/2), sp[(Subscript[k, 1]), ϵ[(Subscript[k, 1])]] -> 0, 
      sp[(Subscript[k, 1]), ϵ[(Subscript[k, 2])]] -> -(Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]), 
      sp[(Subscript[k, 2]), ϵ[(Subscript[k, 1])]] -> -(Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]), 
      sp[(Subscript[k, 2]), ϵ[(Subscript[k, 2])]] -> 0, 
      sp[ϵ[(Subscript[k, 1])], ϵ[
            (Subscript[k, 2])]] -> (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]), 
      sp[p, ϵ[(Subscript[k, 1])]] -> p . (Subscript[ϵ, 1]), 
      sp[p, ϵ[(Subscript[k, 2])]] -> p . (Subscript[ϵ, 2]), 
      sp[(Subscript[p, 1]), ϵ[(Subscript[k, 1])]] -> -p . (Subscript[ϵ, 1]) + 
          (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]), 
      sp[(Subscript[p, 1]), ϵ[(Subscript[k, 2])]] -> -p . (Subscript[ϵ, 2]) + 
          (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]), sp[(Subscript[k, 1]), (Subscript[k, 1])] -> 0, 
      sp[(Subscript[k, 2]), (Subscript[k, 2])] -> 0}

Complete amplitude to 0(p^4):

(1/2) (e^2) ((Subscript[G, 8]) ((((2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) - s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (Subscript[M, K]^2))/(4 (Sqrt[2]) (π^2) s)) + (1/s)(4 (Sqrt[2]) C[0, 0, -(s/2), (Subscript[M, π]^2), (Subscript[M, π]^2), 
                        (Subscript[M, π]^2)] (2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) - s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (Subscript[M, π]^2) (s - 
                          (Subscript[M, π]^2))) + (1/(s ((Subscript[M, K]^2) - 
                            (Subscript[M, π]^2))))(4 (Sqrt[2]) C[0, 
                        0, -(s/2), (Subscript[M, K]^2), (Subscript[M, K]^2), 
                        (Subscript[M, K]^2)] (-2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) + s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (Subscript[M, K]^2) (s (Subscript[M, K]^2) - 
                          (Subscript[M, K]^4) - s (Subscript[M, π]^2) + (Subscript[M, π]^4)))) + 
            (Subscript[G, 27]) ((((2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) - s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (-13 (Subscript[M, K]^2) + 15 (s - (Subscript[M, π]^2))))/(12 (Sqrt[2]) (π^2) s)) + (1/(3 s ((Subscript[M, K]^2) - 
                            (Subscript[M, π]^2))))(2 (Sqrt[2]) C[0, 
                        0, -(s/2), (Subscript[M, π]^2), (Subscript[M, π]^2), 
                        (Subscript[M, π]^2)] (2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) - 
                          s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (Subscript[M, π]^2) (-5 (Subscript[M, K]^4) + 24 (Subscript[M, π]^2) (-s + (Subscript[M, π]^2)) + 
                          (Subscript[M, K]^2) (9 s + 
                                (Subscript[M, π]^2)))) + (1/(3 s ((Subscript[M, K]^2) - (Subscript[M, π]^2))))(2 (Sqrt[2]) C[0, 0, -(s/2), (Subscript[M, K]^2), 
                        (Subscript[M, K]^2), 
                        (Subscript[M, K]^2)] (-2 (Subscript[q, 1]) . (Subscript[ϵ, 2]) (Subscript[q, 2]) . (Subscript[ϵ, 1]) + 
                          s (Subscript[ϵ, 1]) . (Subscript[ϵ, 2])) (Subscript[M, K]^2) (21 (Subscript[M, K]^4) + 6 (Subscript[M, π]^2) (s - (Subscript[M, π]^2)) + 
                          (Subscript[M, K]^2) (-21 s + 
                                5 (Subscript[M, π]^2)))))) + 
      (1/2) I (e^2) ((2 (Sqrt[2]) (ϵ^ξ)ρστ (Subscript[G, 8]) (s - (Subscript[M, K]^2)) ((Subscript[M, K]^2) - 
                      (Subscript[M, π]^2)) ((Subscript[p, ξ]) (Subscript[(((Subscript[k, 1]))), ρ]) - (Subscript[(((Subscript[k, 1]))), ξ]) (Subscript[(((Subscript[p, 1]))), ρ])) (Subscript[((ϵ[(Subscript[k, 1])])), σ]) (Subscript[((ϵ[(Subscript[k, 2])])), τ]))/((π^2) (s - 
                      (Subscript[M, π]^2)) (3 s - 4 (Subscript[M, K]^2) + 
                      (Subscript[M, π]^2))) - (2 (Sqrt[2]) (ϵ^ξ)ρστ (Subscript[G, 27]) (s - (Subscript[M, K]^2)) ((Subscript[M, K]^2) - 
                      (Subscript[M, π]^2)) ((Subscript[p, ξ]) (Subscript[(((Subscript[k, 1]))), ρ]) - (Subscript[(((Subscript[k, 1]))), ξ]) (Subscript[(((Subscript[p, 1]))), ρ])) (Subscript[((ϵ[(Subscript[k, 1])])), σ]) (Subscript[((ϵ[(Subscript[k, 2])])), τ]))/((π^2) (s - 
                      (Subscript[M, π]^2)) (3 s - 4 (Subscript[M, K]^2) + 
                      (Subscript[M, π]^2))))

Runtime:  1.50028 hours

External particles and definition of scalar products:

\({π\_0[p\_1], π\_0[p\_2], \(π\_+\)[p\_3], \(π\_-\)[
        p\_4]}\)

{sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 2])] -> (1/2) (s - 2 (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 3])] -> (1/2) (t - 2 (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 4])] -> (1/2) (u - 2 (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[p, 2]), (Subscript[p, 3])] -> (1/2) (u - 2 (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[p, 2]), (Subscript[p, 4])] -> (1/2) (t - 2 (Subscript[M, π]^2)), 
      sp[(Subscript[p, 3]), (Subscript[p, 4])] -> (1/2) (s - 2 (Subscript[M, π]^2))}

Complete amplitude to 0(p^4):

\(\(32\ L\_6\%r\ M\_π\%4\)\/F\_π\%4 + \(16\ L\_8\%r\ M\_π\%4\)\/F\_π\%4 + \(16\ L\_4\%r\ M\_π\%2\ \((s - 2\ M\_π\%2)\)\)\/F\_π\%4 + \(8\ L\_5\%r\ M\_π\%2\ \((s - 2\ M\_π\%2)\)\)\/F\_π\%4 + \(8\ L\_1\%r\ \((s - 2\ M\_π\%2)\)\^2\)\/F\_π\%4 + \(4\ L\_3\%r\ \((s - 2\ M\_π\%2)\)\^2\)\/F\_π\%4 - \(\(-2\)\ s + t + u - M\_π\%2\)\/\(3\ F\_π\%2\) + \(\(-3\)\ \((15\ s\^2 + 6\ t\^2 - 2\ t\ u + 6\ u\^2 + s\ \((t + u)\))\) + 72\ \((t + u)\)\ M\_π\%2 - 112\ M\_π\%4\)\/\(1152\ π\^2\ F\_π\%4\) + \(4\ L\_2\%r\ \((t\^2 + u\^2 - 4\ \((t + u)\)\ M\_π\%2 + 8\ M\_π\%4)\)\)\/F\_π\%4 + \(\((3\ s\^2 - 2\ t\ u + s\ \((t + u)\))\)\ A\&_[M\_K\%2]\)\/\(24\ F\_π\%4\ M\_K\%2\) + \(\((6\ s\^2 + 3\ t\^2 - 2\ t\ u + 3\ u\^2 + s\ \((t + u)\) - 12\ \((t + u)\)\ M\_π\%2 + 18\ M\_π\%4)\)\ A\&_[M\_π\%2]\)\/\(12\ F\_π\%4\ M\_π\%2\) - \(M\_π\%4\ A\&_[M\_η\%2]\)\/\(6\ F\_π\%4\ \((\(-4\)\ M\_K\%2 + M\_π\%2)\)\) + \(s\^2\ B\&_[s, M\_K\%2, M\_K\%2]\)\/\(8\ F\_π\%4\) + \(\((s\^2 - M\_π\%4)\)\ B\&_[s, M\_π\%2, M\_π\%2]\)\/\(2\ F\_π\%4\) + \(M\_π\%4\ B\&_[s, M\_η\%2, M\_η\%2]\)\/\(18\ F\_π\%4\) + \(\((s - u)\)\ \((t - 4\ M\_K\%2)\)\ B\&_[t, M\_K\%2, M\_K\%2]\)\/\(24\ F\_π\%4\) + \(\((t\ \((s + 3\ t - u)\) - 4\ \((s + 3\ t - u)\)\ M\_π\%2 + 12\ M\_π\%4)\)\ B\&_[t, M\_π\%2, M\_π\%2]\)\/\(12\ F\_π\%4\) + \(\((s - t)\)\ \((u - 4\ M\_K\%2)\)\ B\&_[u, M\_K\%2, M\_K\%2]\)\/\(24\ F\_π\%4\) + \(\((u\ \((s - t + 3\ u)\) - 4\ \((s - t + 3\ u)\)\ M\_π\%2 + 12\ M\_π\%4)\)\ B\&_[u, M\_π\%2, M\_π\%2]\)\/\(12\ F\_π\%4\)\)

Runtime:  0.0444444 hours