2.3 Thermodynamik der verdünnten Gase

Der Druck auf die Wand eines Gefäßes, das ein verdünntes Gas enthält, wird durch die Stöße der Moleküle auf diese Wand erzeugt. Bei jedem derartigen Stoß, beispielsweise gegen die rechte Wand eines kubischen Gefäßes, wird der ursprüngliche $x$-Impuls des Moleküls, $p_{x}\equiv m v_{x}$, umgekehrt. Der bei diesem Prozeß auf die Wand übertragene Impuls ist daher $\Delta p_{x}=2mv_{x}$. Die auf die Flächeneinheit wirkende Kraft ist aber nichts anderes als der zeitliche Mittelwert des auf diese Weise auf die Wand übertragenen Impulses:

$$P \equiv \frac{\langle K \rangle_{t}}{F} \equiv \frac{1}{Ft... ...^{(k)} \equiv \frac{1}{Ft} \sum_{k=1}^{M(t)} 2 m v_{x}^{(k)}$$ (2.26)

wo $M(t)$ die Anzahl der innerhalb des Zeitraums $t$ erfolgten Wandstöße bezeichnet.

Um eine theoretische Vorhersage für den Druck zu entwickeln, argumentieren wir folgendermaßen:

Die Anzahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit bis zur rechten Wand gelangen, ist proportional zu $v_{x}$. (Je schneller ein Teilchen in positiver $x$-Richtung unterwegs ist, von umso weiter her kann es kommen, umso größer ist also das Volumen, aus dem es kommen kann; bei gegebener Teilchendichte können daher mehr Moleküle mit großer $x$-Geschwindigkeit bis zur Wand gelangen als solche mit geringer $x$-Geschwindigkeit.) Andererseits ist der pro Stoß übertragene Impuls gleich $2mv_{x}$. Daher gilt insgesamt

$$P = \frac{N}{V} \int_{v_{x}> 0} d\vec{v} 2mv_{x}^{2} f(\vec{v})$$ (2.27)

Setzen wir für $f(\vec{v})$ die Maxwell-Boltzmann-Dichte ein und führen wir die Integrationen aus, dann erhalten wir

$$P = \frac{2}{3} \frac{N \langle E \rangle}{V}$$ (2.28)

Applet Hspheres: Start

Simulation: Thermodynamik verdünnter Gase 3-dimensionales System aus harten Kugeln in einem kubischen Gefäß. Bestimmung des Druckes: - aus der Beobachtung der Teilchenkollisionen mit den Gefäßwänden ($P_{ex}$) - aus Gleichung 2.28 ($P_{th}$). [Code: Hspheres]

Damit ist es uns gelungen, aus rein statistischen Überlegungen eine Vorhersage über eine thermodynamische Größe abzuleiten. Dies gibt uns aber die Möglichkeit, eine Brücke zur makroskopischen Physik zu schlagen. Der Druck eines verdünnten Gases bei der Dichte $\rho \equiv N/V$ und der Temperatur $T$ beträgt nämlich $P = \rho k T$. Damit erhalten wir sofort für die mittlere Energie eines Moleküls

$$\langle E \rangle = \frac{3 k T}{2} ,$$ (2.29)

und der Parameter $\beta$, der im Zusammenhang mit der Gleichgewichts-Dichte im Geschwindigkeitsraum definiert wurde, erweist sich als der Kehrwert von $kT$. Die weitere Entwicklung der Thermodynamik verdünnter Gase ist nun einfach. So können wir etwa aus der Formel für die innere Energie, $U \equiv N \langle E\rangle$ $= 3 NkT/2$ unter Verwendung des ersten Hauptsatzes,

$$dQ = dU + P dV$$ (2.30)

jenen Energiebetrag berechnen, der nötig ist, um die Temperatur des Gases bei konstantem Volumen um $1$ Grad zu erhöhen - also die Wärmekapazität $C_{V}$:

$$C_{V} \equiv \left. \frac{dQ}{dT} \right\vert _{V} = \frac{dU}{dT} = \frac{3}{2} Nk$$ (2.31)