Die mittlere Besetzungszahl eines Zustands lautet für Bosonen
(5.12)
Diese Funktion ähnelt qualitativ dem Boltzmannfaktor
, ist aber überall größer als jener.
Nur für kleine und hohe wird wieder
.
Abbildung:
Mittlere Besetzungszahlen der Zustände im Bose-Einstein-System
mit .
Zum Vergleich ist für die Temperatur auch der klassische
Boltzmannfaktor
eingezeichnet.
PHOTONEN IM HOHLRAUM
Ein wichtiges Beipiel für ein derartiges Sytem ist ein ,,Gas``
aus Photonen. Man bezeichnet einen Hohlraum aus reflektierenden Wänden,
in dem ein Photonengas im thermodynamischen Gleichgewicht gehalten
wird, als ,,Schwarzen Körper``. Eigentlich bezieht sich dieser
Ausdruck auf ein fiktives Körnchen schwarzer Materie innerhalb des
Hohlraums. Dieser schwarze Körper soll durch Absorption und
Reemission den Energieaustausch zwischen den Photonen ermöglichen
und so das Gleichgewicht herbeiführen. In der experimentellen Praxis
sind die Wände niemals ideale Spiegel, sodaß sich die Bereitstellung
eines schwarzen Körpers erübrigt.
Da die Gesamtenergie im isolierten Hohlraum erhalten ist, die
Photonen aber nach jeder Absorption und Reemission verschiedene
Energie tragen können, ist die Gesamtzahl der Photonen nicht
erhalten. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage .
Wir wollen nun das Energiespektrum der Hohlraumstrahlung bestimmen.
Dazu müssen wir zunächst die Anzahl der in einem
kleinen Energieintervall verfügbaren Zustände ermitteln.
Die Besetzung dieser Zustände erfolgt dann gemäß 5.12.
Eine einfache geometrische Überlegung (wieviele Gitterpunkte
liegen in einer Kugelschale) führt zu
(5.13)
wo der zur Energie gehörige Impuls ist.
Damit wird die Gesamtzahl der Photonen im System
(5.14)
Die Anzahl der Photonen in einem Frequenzintervall
ist offenbar gleich
(5.15)
Die von diesen Photonen getragene Energie, also die
Spektraldichte der Hohlraumstrahlung, ist
(5.16)
Für Druck und innere Energie der Hohlraumstrahlung erhält
man - abweichend vom klassischen idealen Gas - die Beziehung
.
Die Erklärung des empirisch gefundenen Spektrums der Hohlraumstrahlung
war einer der entscheidenden Schritte der theoretischen Physik zu
Beginn dieses Jahrhunderts. Erklärungsversuche aufgrund klassischer
Annahmen waren immer gescheitert; Max Planck konnte durch die
ad hoc-Annahme einer Quantisierung der Energie den richtigen
Verlauf des Spektrums reproduzieren. Die Auseinandersetzung mit
der Frage nach der physikalischen Bedeutung dieser Annahme führte
zur Quantenphysik.
F. J. Vesely / StatPhys Tutorial, Deutsch, 2001-2003