Der Verlauf der Fermi-Besetzungsdichte (siehe Gl. 5.4 mit
dem positiven Vorzeichen im Nenner) ist aus Abbildung
5.1 zu ersehen. Im allgemeinen unterscheidet sie sich erheblich
von ihrem klassischen Gegenstück, dem Boltzmannfaktor. Insbesondere
ähnelt sie für kleine Temperaturen immer mehr einer Stufenfunktion.
Im Grenzfall
sind demnach alle verfügbaren Zustände
mit einer Energie unterhalb eines gewissen Schwellwertes besetzt,
während die Zustände höherer Energie unbesetzt bleiben. Die
Schwellenenergie wird als ,,Fermi-Energie``
bezeichnet.
Abbildung:
Mittlere Besetzungszahlen der Zustände im Fermi-Dirac-System
mit . Zum Vergleich ist für die Temperatur auch der
klassische Boltzmannfaktor
eingezeichnet.
Nur für hohe Temperaturen und kleine Werte von nähert sich
die Fermi-Dirac-Dichte der klassischen Boltzmanndichte an, wobei
immer
gilt. Zum Vergleich ist die
Funktion
ebenfalls in
Abb. 5.1 eingezeichnet.
ELEKTRONEN IN METALLEN
Die Leitungselektronen in metallischen Festkörpern können
in guter Näherung als ideales Fermigas betrachtet werden; allerdings
muß man in diesem Fall den Spin berücksichtigen, durch den die
größte erlaubte Besetzungszahl eines Zustands gleich (statt )
ist.
Bei geringen Temperaturen sind alle Zustände mit
besetzt. Die Anzahl dieser Zustände
(und damit der Elektronen) ist aber, wie aus Gl. 1.11
leicht herzuleiten, gleich
(5.11)
Mit einem typischen Wert von
für Leitungselektronen ergibt sich daraus
.
Auch Druck und innere Energie des Elektronengases sind durch
Anwendung der allgemeinen Formeln 4.51 und 4.53
leicht zu berechnen. Wir begnügen uns hier mit dem Hinweis, daß
- ebenso wie im Fall des klassischen idealen Gases - die
Beziehung erfüllt ist.
F. J. Vesely / StatPhys Tutorial, Deutsch, 2001-2003