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5.3 Das ideale Fermigas

Der Verlauf der Fermi-Besetzungsdichte (siehe Gl. 5.4 mit dem positiven Vorzeichen im Nenner) ist aus Abbildung 5.1 zu ersehen. Im allgemeinen unterscheidet sie sich erheblich von ihrem klassischen Gegenstück, dem Boltzmannfaktor. Insbesondere ähnelt sie für kleine Temperaturen immer mehr einer Stufenfunktion. Im Grenzfall $kT \rightarrow 0$ sind demnach alle verfügbaren Zustände mit einer Energie unterhalb eines gewissen Schwellwertes besetzt, während die Zustände höherer Energie unbesetzt bleiben. Die Schwellenenergie $E_{F}=\mu$ wird als ,,Fermi-Energie`` bezeichnet.

Abbildung: Mittlere Besetzungszahlen der Zustände im Fermi-Dirac-System mit $\mu =0$. Zum Vergleich ist für die Temperatur $kT=5$ auch der klassische Boltzmannfaktor $\exp \left[ -E / kT\right]$ eingezeichnet.
\begin{figure}\includegraphics[width=240pt]{fig/f5fd_4.ps}
\end{figure}


Nur für hohe Temperaturen und kleine Werte von $\mu$ nähert sich die Fermi-Dirac-Dichte der klassischen Boltzmanndichte an, wobei immer $f_{FD} < f_{Bm}$ gilt. Zum Vergleich ist die Funktion $f_{Bm} = \exp \left[ - E_{\vec{p}} /kT\right]$ ebenfalls in Abb. 5.1 eingezeichnet.

ELEKTRONEN IN METALLEN
Die Leitungselektronen in metallischen Festkörpern können in guter Näherung als ideales Fermigas betrachtet werden; allerdings muß man in diesem Fall den Spin berücksichtigen, durch den die größte erlaubte Besetzungszahl eines Zustands gleich $2$ (statt $1$) ist.

Bei geringen Temperaturen sind alle Zustände $\vec{p}$ mit $E_{\vec{p}} \leq E_{F} = \mu$ besetzt. Die Anzahl dieser Zustände (und damit der Elektronen) ist aber, wie aus Gl. 1.11 leicht herzuleiten, gleich

\begin{displaymath}
N = \frac{8 \pi}{3} V \left( \frac{2m \mu}{h^{2}}\right)^{3/2}
\end{displaymath} (5.11)

Mit einem typischen Wert von $\mu \approx 5 \cdot 10^{-19} J$ für Leitungselektronen ergibt sich daraus $N/V \approx 3 \cdot 10^{27} m^{-3}$.

Auch Druck und innere Energie des Elektronengases sind durch Anwendung der allgemeinen Formeln 4.51 und 4.53 leicht zu berechnen. Wir begnügen uns hier mit dem Hinweis, daß - ebenso wie im Fall des klassischen idealen Gases - die Beziehung $PV = 2 U / 3$ erfüllt ist.


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F. J. Vesely / StatPhys Tutorial, Deutsch, 2001-2003