Der zweite Weg zur Herleitung der Eigenschaften eines Quantengases
führt über die ()-Gesamtheit im Gibbsschen Phasenraum.
In der allgemeinen Definition der großen Zustandssumme,
,
schreibt man für jetzt eine Summe über Zustände (statt eines
Integrals über den Zustandsraum):
(5.5)
Dabei ist die Summe
über alle
zulässigen Besetzungszahlen sämtlicher Zustände zu
nehmen, wobei wieder die Bedingung
einzuhalten ist. Die erlaubten Werte für lauten
und für Fermionen und
für Bosonen. Damit
wird
(5.6)
Man kann zeigen, daß dies gleich ist
(5.7)
Und jetzt kann man in der Summe die zulässigen Werte für
einsetzen. Man erhält für
Fermionen ():
(5.8)
Bosonen (
):
(5.9)
Aus der großen Zustandssumme kann man nach den schon bekannten
Formeln (siehe die Gleichungen für Druck, Teilchenzahl und innere
Energie in Abschnitt 4.3) die wichtigsten thermodynamischen
Eigenschaften dieser Systeme bestimmen. Für die mittlere Besetzungszahl
eines Zustandes findet man
(5.10)
Setzt man für den jeweiligen Ausdruck für Fermi- bzw.
Boseteilchen ein, dann erhält man wieder die in Gl. 5.4
gegeben Besetzungsdichten.
In den folgenden Abschnitten werden die Eigenschaften wichtiger
Fermionen- und Bosonengase diskutiert.
F. J. Vesely / StatPhys Tutorial, Deutsch, 2001-2003