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5.2 Ideales Quantengas: Großkanonisches Ensemble

Der zweite Weg zur Herleitung der Eigenschaften eines Quantengases führt über die ($z,V,T$)-Gesamtheit im Gibbsschen Phasenraum. In der allgemeinen Definition der großen Zustandssumme, $Z(z,V,T) \equiv \sum_{N=0}^{\infty} z^{N} Q(N,V,T)$, schreibt man für $Q$ jetzt eine Summe über Zustände (statt eines Integrals über den Zustandsraum):
\begin{displaymath}
Q(N,V,T) = \frac{m^{3N}}{N! h^{3N}} \int d\vec{\Gamma}
\exp...
...exp \left[ -\sum_{\vec{n}} f_{\vec{n}} E_{\vec{n}}/kT \right]
\end{displaymath} (5.5)

Dabei ist die Summe $\left\{ f_{\vec{n}} \right\}$ über alle zulässigen Besetzungszahlen sämtlicher Zustände $\vec{n}$ zu nehmen, wobei wieder die Bedingung $\; \sum_{\vec{n}} f_{\vec{n}} = N $ einzuhalten ist. Die erlaubten Werte für $f_{\vec{n}}$ lauten $0$ und $1$ für Fermionen und $0,1,2, \dots N $ für Bosonen. Damit wird
\begin{displaymath}
Z = \sum_{N=0}^{\infty} z^{N}
\sum_{\left\{ {\large f}_{\ve...
...\vec{n}}
\left( z e^{-E_{\vec{n}} / kT} \right)^{f_{\vec{n}}}
\end{displaymath} (5.6)

Man kann zeigen, daß dies gleich ist
\begin{displaymath}
Z = \prod_{\vec{n}}
\left[ \sum_{f} \left( z e^{-E_{\vec{n}}}\right)^{f} \right]
\end{displaymath} (5.7)

Und jetzt kann man in der Summe die zulässigen Werte für $f$ einsetzen. Man erhält für

Fermionen ($f=0,1$):
\begin{displaymath}
Z=\prod_{\vec{n}} \left[ 1+ze^{-E_{\vec{n}}/kT}\right]
\end{displaymath} (5.8)

Bosonen ( $f=0,1,2, \dots$):
\begin{displaymath}
Z=\prod_{\vec{n}} \frac{1}{ 1-ze^{-E_{\vec{n}}/kT} }
\end{displaymath} (5.9)

Aus der großen Zustandssumme kann man nach den schon bekannten Formeln (siehe die Gleichungen für Druck, Teilchenzahl und innere Energie in Abschnitt 4.3) die wichtigsten thermodynamischen Eigenschaften dieser Systeme bestimmen. Für die mittlere Besetzungszahl eines Zustandes $\vec{n}$ findet man
\begin{displaymath}
\langle f_{\vec{n}} \rangle \equiv \frac{1}{Z} \sum_{N}
\sum...
... - \frac{1}{\beta} \frac{\partial}{\partial E_{\vec{n}}} \ln Z
\end{displaymath} (5.10)

Setzt man für $Z$ den jeweiligen Ausdruck für Fermi- bzw. Boseteilchen ein, dann erhält man wieder die in Gl. 5.4 gegeben Besetzungsdichten.

In den folgenden Abschnitten werden die Eigenschaften wichtiger Fermionen- und Bosonengase diskutiert.


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F. J. Vesely / StatPhys Tutorial, Deutsch, 2001-2003