Schrödingergleichung als Hamiltonsches System


Franz Embacher

Fakultät für Physik der Universität Wien

 
Schrödingergleichung (mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator): $$i\hbar {d\over dt}|\psi(t)\rangle=H\,|\psi(t)\rangle$$ Entwicklung in Energieeigenzustände: $$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(t)|\phi_n\rangle$$ wobei $$\dot{c}_n(t)=-{iE_n\over\hbar}\,c_n(t)$$ Spalte die Koeffizienten in Real- und Imaginärteil auf: $c_n=q_n+ip_n$. Dann ist die Schrödingergleichung äquivalent zum Hamiltonschen System \begin{eqnarray} \dot{q}_n&=&{E_n\over\hbar}\,p_n={\partial{\cal H}\over\partial p_n}\\ \dot{p}_n&=&-{E_n\over\hbar}\,q_n=-{\partial{\cal H}\over\partial q_n} \end{eqnarray} mit $${\cal H}=\sum_n{E_n\over 2\hbar}\left(p_n^2+q_n^2\right)\equiv\sum_n {E_n\over 2\hbar}|c_n|^2={1\over 2\hbar}\langle \psi|H|\psi\rangle$$ Für jedes $n$ ist ${\cal N}_n=p_n^2+q_n^2=|c_n|^2=|\langle\phi_n|\psi\rangle|^2$ eine Erhaltungsgröße, und es muss ${\cal N}=\sum_n {\cal N}_n=1$ sein (also $\langle\psi|\psi\rangle=1$).

In diesem Sinn kann der Hilbertraum als Phasenraum aufgefasst werden. Die symplektische Form ist durch $$\omega=\sum_n dq_n\wedge dp_n=-{i\over 2}(d\langle\psi|)\wedge (d|\psi\rangle)$$ gegeben. Der Übergang zu Komponenten bezüglich einer anderen ON-Basis des Hilbertraums entspricht einer linearen kanonischen Transformation (wobei allerdings nicht jede lineare kanonische Tansformation eine unitäre Transformation im Hilbertraum erzeugt).

Das zugehörige Hamiltonsche Wirkungsprinzip hat die Lagrangefunktion $${\cal L}(q,p,\dot{q})=\sum_n \dot{q}_n p_n-{\cal H}={\rm Re}\left({i\over 2}\langle\psi|{d\over dt}|\psi\rangle\right)-{1\over 2\hbar}\langle \psi|H|\psi\rangle +{d\over dt}\left(\dots\right)$$


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