Die Ladungsdichte $\rho$ und die Stromdichte $\vec{j}$ bezeichnen die gesamten vorhandenen Ladungsträger und ihre Bewegungen.
Sie sind die Quellen der Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$, die wiederum auf geladene Teilchen die Lorentzkraft ausüben.
Die Maxwellgleichungen
haben den Status eines fundamentalen physikalischen Gesetzes. Werden elektromagnetische Phänomene in Materie betrachtet, so umfassen $\rho$ und $\vec{j}$ demnach alle vorhandenen Ladungsträger, also auch die Atomkerne und Elektronen. Werden nun in der Praxis etwa ein Kondensator, zwischen dessen Platten sich Materie befindet, oder eine Spule mit einem Eisenkern betrachtet, so wird nur ein Teil der Ladungsträger bewusst manipuliert (also etwa die Ladungen auf den Kondensatorplatten oder die Leiterelektronen in den Spulenwindungen), während alle anderen Ladungsträger (etwa die Atomkerne und die an sie gebundenen Hüllenelektronen) ein Eigenleben besitzen (wie die "atomaren Kreisströme"), auf vorhandene Felder reagieren, dadurch weitere Felder erzeugen und alles in allem das Bild erheblich verkomplizieren können. Da ihr Verhalten und damit ihr Beitrag zur Gesamtsituation aber nur vom Materialtyp abhängt, können sie gewissermaßen vorab berücksichtigt werden, womit sich die zu lösenden Gleichungen wieder vereinfachen. Maxwell-Gleichungen in Materie Wir unterscheiden zwei Typen von Ladungsträgern, die freien und die gebundenen. Die freien sind etwa die Leiterelektronen in einem Metall oder die überschüssigen Ladungen auf den Platten eines Kondensators, während die gebundenen den "Hintergrund" der Materie darstellen, deren Einfluss wir nun besprechen wollen. Dazu betrachten wir zunächst die elektrischen Verhältnisse und spalten die Ladungsdichte in zwei Anteile auf:
$\rho_{\sf frei}$ ist die Ladungsdichte der freien Ladungsträger, $\rho_{\sf Pol}$ ist die Ladungsdichte der Atomkerne und der an sie gebundenen Elektronen. In Atomen und Molekülen findet manchmal von selbst und manchmal unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes eine lokale Ladungstrennung statt, wodurch sie (obwohl insgesamt elektrisch neutral) zu elektrischen Dipolen werden, sich ausrichten und ihrerseits ein elektrisches Feld erzeugen, das sich dem äußeren überlagert. Insgesamt werden Prozesse dieser Art als dielektrische Polarisierung bezeichnet. (Die Materie wird polarisiert. Anstelle von Polarisierung wird manchmal auch "Polarisation" gesagt – bitte nicht verwechseln mit der Polarisation elektromagnetischer Wellen). Ist $\vec{P}$ die Dipoldichte (das mittlere elektrische Dipolmoment pro Volumen), so ist die (über keine Raumbereiche gemittelte) Ladungsdichte durch $\rho_{\sf Pol}=-{\rm div}\vec{P}$ und das von ihr erzeugte elektrische Feld durch $\vec{E}_{\sf Pol}=-{1\over\varepsilon_{\!0}}\vec{P}$ gegeben.
Das gesamte elektrische Feld ist daher durch
gegeben. Die Quellen des ersten Anteils werden durch $\rho_{\sf frei}$, jene des zweiten Anteils werden durch $\rho_{\sf Pol}$ beschrieben. Die magnetischen Verhältnisse sind eine Spur reichhaltiger: Einerseits besitzen Elementarteilchen (und damit auch die aus ihnen zusammengesetzten Atome und Moleküle) von sich aus magnetische Momente, die von ihrem Spin ("Eigendrehimpuls") herrühren. Weiters entält die Materie magnetische Momente, die vom "Bahndrehimpuls" der Elektronen herrühren. (Sie werden von den "atomaren Kreisströmen" verursacht, die man sich aber eher nicht als klassisches "Umkreisen" vorstellen sollte). Ohne äußeres Feld sind diese Momente in vielen Materialien zufällig verteilt und mitteln sich weg, so dass makroskopisch von ihnen nichts bemerkt wird. In einem äußeren Magnetfeld richten sie sich aus und erzeugen auf diese Weise ein zusätzliches Magnetfeld, das wir als Magnetisierung beobachten. Insgesamt ordnen wir den auf diese Weise zustande kommenden Magnetfeldern einen Magnetisierungsstrom $\vec{j}_{\sf Magn}$ zu. Daneben gibt es noch den so genannten Polarisierungsstrom, der von der zeitlichen Änderung der oben besprochenen elektischen Dipolmomente herrührt (wenn beispielsweise die Ladungen, die zu einem elektrischen Dipol gehören, durch den Einfluss des elektrischen Feldes auseinandergezogen werden), und den wir mit $\vec{j}_{\sf Pol}$ bezeichnen. Und schließlich erzeugt die Bewegung der freien Ladungsträger (wie der Leiterelektronen, die nicht wirklich "frei", aber zumindest "quasi-frei" sind) die freie Stromdichte $\vec{j}_{\sf frei}$. Insgesamt spalten wir die Stromdichte also in drei Anteile auf,
wobei die letzten zwei von den gebundenen Ladungsträgern herrühren. Das von $\vec{j}_{\sf Magn}$ erzeuge Magnetfeld lässt sich durch die Magnetisierung $\vec{M}$ (das mittlere magnetische Dipolmoment pro Volumen, auch Magnetisierungsfeld) in der Form $\vec{B}_{\sf Magn}=\mu_0\vec{M}$ ausdrücken. (Wir führen das nicht eigens vor – die Argumentation, die auf diese Beziehung führt, verläuft ähnlich wie die oben angegebene Begründung der Beziehung $\vec{E}_{\sf Pol}=-{1\over\varepsilon_{\!0}}\vec{P}$ ). Weiters lässt sich zeigen, dass $\vec{j}_{\sf Magn}={\rm rot}\vec{M}$ und $\vec{j}_{\sf Pol}={\large\partial\vec{P}\over\large\partial t}$ gilt. Das gesamte Magnetfeld ist durch
gegeben. Das alles setzen wir nun in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen $(1a)$ und $(1d)$ ein. Einige Terme kürzen sich wieder heraus. $(1a)$ wird zu
Es bleibt also übrig:
$(1d)$ wird zu
Es bleibt also übrig:
$(1a'')$ und $(1d'')$ beziehen sich nur auf die freien Ladungsträger, haben aber ansonsten die gleiche Form wie $(1a)$ und $(1d)$. Es ist üblich, anstelle von $\vec{E}_{\sf frei}$ und $\vec{B}_{\sf frei}$ die beiden Felder
und
einzuführen. Die Gleichungen $(1a'')$ und $(1d'')$ lauten dann
und
Dazu kommen noch $(1b)$ und $(1c)$ in unveränderter Form. Das sind die Maxwell-Gleichungen in Materie. Sie handeln nicht mehr nur von zwei, sondern von vier Vektorfeldern, nämlich $\vec{E}$, $\vec{D}$, $\vec{B}$ und $\vec{H}$. Die Lorentzkraft auf geladene Teilchen ist nach wie vor durch die bekannte Formel mit den Feldern $\vec{E}$ und $\vec{B}$ gegeben. Um das Verhalten der Materie in dieser komplexen Situation berücksichtigen zu können, müssen wir wissen, welche Polarisierung und welche Magnetisierung ein äußeres Feld hervorruft. Glücklicherweise ist die Reaktion der Materie in vielen Fällen einfach in den Griff zu bekommen. Wir erwähnen nur die zwei häufigsten Materietypen: Dielektrika Dielektrika sind schwach leitende oder nichtleitende nichtmetallische Stoffe. Viele dieser Stoffe reagieren in erster Ordnung linear und lokal auf äußere Felder. Für sie gelten die Beziehungen
wobei $\varepsilon_r$ die (relative) Dielektrizitätskonstante (oder relative Permittivität) ist, und
wobei $\mu_r$ die (relative) Permeabitität ist. $\varepsilon_r$ und $\mu_r$ sind dimensionslose Materialkonstanten. $\varepsilon_r$ gibt an, wie "durchlässig" ein Material für das elektrische Feld ist. Es gilt stets $\varepsilon_r > 1$. Im Vakuum gilt $\varepsilon_r=1$, in Glas liegt $\varepsilon_r$ zwischen $6$ und $8$, in Wasser bei $80.1$. $\mu_r$ gibt an, wie "durchlässig" ein Stoff für das Magnetfeld ist. Im Vakuum gilt $\mu_r=1$.
Metalle und Halbleiter In Metallen und Halbleitern ruft ein elektrisches Feld einen Ladungsfluss hervor, der in linearer Nänerung proportional zum Feld ist, wie das Ohmsche Gesetz
ausdrückt. Die Proportionalitätskonstante $\sigma$ heißt elektrische Leitfähigkeit. Verhalten an Grenzflächen und Sprungbedingungen An der Grenzfläche zwischen zwei Medien 1 und 2 können wir jedes Vektorfeld $\vec{v}$ in eine Normal- und eine Tangentialkomponente zerlegen; $\vec{v}=v^\perp \vec{n} + \vec{v}^{\parallel}$, wobei $\vec{n}$ der (von 1 nach 2 weisende) Einheitsnormalvektor auf die Fläche ist. Aus den Maxwell-Gleichungen folgt nun ganz allgemein:
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