Die Lorentztransformation ist das Herz der Speziellen Relativitätstheorie. Auf dieser Seite wird einer der "klassischen" Zugänge vorgeführt. Als Voraussetzungen benötigt er die Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion sowie den Begriff der "Gleichzeitigkeit in einem Inertialsystem" und die Methode, Uhren mit Hilfe von Lichtsignalen zu synchronisieren. Eine elegantere Herleitung der Lorentztransformation findet sich im Abschnitt über den Bondischen k-Kalkül.
In einem gegebenen Inertialsystem wird jedes Ereignis durch vier Zahlen dargestellt: drei Ortskoordinaten (wo) und eine Zeitkoordinate (wann). Dasselbe Ereignis wird in einem anderen Inertialsystem ebenfalls durch vier Zahlen dargestellt. Die Frage, auf die die Lorentztransformation die Antwort ist, lautet: In welcher Beziehung stehen die Raumzeit-Koordinaten eines Ereignisses bezüglich verschiedener Inertialsysteme? Oder, allgemeiner ausgedrückt: Wie unterscheiden sich die in verschiedenen Inertialsystemen gemachten Beobachtungen eines Prozesses? Um uns einer Antwort anzunähern, legen wie zunächst zwei Inertialsysteme I und I' fest, die sich relativ zueinander mit einer Geschwindigkeit v bewegen. Wir wollen die räumlichen Koordinatensysteme so orientieren, dass die x-Achsen beider Systeme zusammenfallen und in die relative Bewegungsrichtung weisen. Vom System I aus betrachtet, bewege sich das räumliche Koordinatensystem von I' mit Geschwindigkeit v in x-Richtung, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt ist: Die dritte Raumdimension
(z und z')
haben wir in der Zeichnung unterdrückt. Weiters wollen wir annehmen,
dass die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme genau dann zusammenfallen,
wenn die Uhren im System I
die Zeit Nun finde irgendein
Ereignis A
statt. Im Inertialsystem I
wird es durch die vier Koordinaten Das ist die Ausgangsfrage. Wenn wir eine Antwort finden, können wir von jedem physikalischen Prozess, der aus einer Menge von Ereignissen besteht (z.B. die Kreisbewegung eines Elektrons im Magnetfeld eines Teilchenbeschleunigers), und der in einem Inertialsystem beobachtet wird, voraussagen, wie er in einem anderen Inertialsystem wahrgenommen wird. Insbesondere sollten sich dann die Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion, aber auch abgeleitete Effekte wie die relativistische Geschwindigkeitsaddition automatisch aus den Umrechnungsformeln ergeben. Diese Formeln würden dann sozusagen die "Grundgleichungen der Speziellen Relativitätstheorie" darstellen. Und so ist es auch.
Um ein besseres Verständnis dieser Formeln zu erzielen, wollen
wir uns aber vorerst eines verdeutlichen: Die Antwort auf die Frage
nach der Umrechnung von Ereigniskoordinaten hängt von der zugrundliegenden
Theorie ab. Die Frage lässt sich bereits im Rahmen der galileischen
Physik (in der es das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
nicht gibt) stellen und beantworten. Bevor wir uns der Speziellen Relativitätstheorie
zuwenden, wollen wir zuerst eine allgemeine -
von der Theorie unabhängige - Eigenschaft
der gesuchten Umrechnungsformeln feststellen und uns dann ansehen, wie
Galileis Antwort gelautet hat. Erst danach werden wir uns wieder der
Relativitätstheorie zuwenden.
Zunächst wissen
wir eine Sache von vornherein: Die gesuchten Umrechnungsformeln müssen
linear sein.
Erinnern wir uns: ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in
dem jede kräftefreie Bewegung geradlinig gleichförmig erscheint.
Die zurückgelegte Entfernung (ausgedrückt durch die räumlichen
Koordinaten) wächst dann linear mit der Zeit. Weltlinien kräftefreier
Körper sind immer Geraden. Die gesuchten Umrechnungsformeln müssen
das natürlich respektieren: Es muss jede geradlinig gleichförmige
Bewegung in I in eine
geradlinig gleichförmige Bewegung in I'
übergeführt werden. Das ist nur möglich, wenn
jede Raumzeit-Koordinate des Systems I'
eine lineare (oder linear-inhomogene) Funktion
der Raumzeit-Koordinaten des Systems I
ist, also beispielsweise Betrachten wir
gleich ein konkretes Ereignis: das Zusammenfallen der Ursprünge
der räumlichen Koordinatensysteme. Nach unseren obigen Annahmen
(dass die Koordinatenursprünge irgendwann zusammenfallen, und dass
dies in beiden Systemen zur Zeit 0 geschieht) hat dieses Ereignis in
I und in I'
die Koordinatenwerte
Eine weitere Sache ist von vornherein klar: Die gesuchten Umrechnungsformeln lassen keine Längenveränderungen quer zur Bewegungsrichtung (genauer: normal zur Bewegungsrichtung) zu. Um das einzusehen, betrachten wir zwei Zylinder, die in ihren Ruhsystemen den gleichen Radius haben und sich in Längsrichtung relativ zueinander bewegen, und zwar so, dass ihre Achsen zusammenfallen. Gäbe es nun beispielsweise eine Verkürzung von Längen quer zur Bewegungsrichtung, so wäre aus der Sicht eines Beobachters, für den der erste Zylinder ruht, der Radius des zweiten Zylinders verkleinert. Daher würde der erste Zylinder den zweiten umschließen. Von außen würde man nur den ersten Zylinder sehen. Aus der Sicht eines Beobachters, für den der zweite Zylinder ruht, wäre es genau umgekehrt - ein klarer Widerspruch! Es folgt, dass die Radien der beiden Zylinder für beide Beobachter gleich groß sind. Findet die Relativbewegung
unserer beiden räumlichen Koordinatensysteme, wie oben festgelegt,
entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen
statt, so sind Längen quer zu diesen Achsen in beiden Systemen
gleich. Wird die y'-Achse
parallel zur y-Achse
und die z'-Achse
parallel zur z-Achse
ausgerichtet (was immer durch eine Drehung der Achsen in der y'z'-Ebene
erreicht werden kann, und was wir im Folgenden annehmen), so gilt
Im Rahmen der galileischen Physik lautet die Antwort auf unsere Frage folgendermaßen:
Diese Formeln zur Umrechnung von Ereigniskoordinaten im Rahmen der galileischen Physik heißen Galileitransformation. (1a) ist widerspiegelt die Tatsache, dass die Zeit in der galileischen Physik eine absolute Größe ist: sie hängt nicht vom Beobachter ab. (1c) und (1d) kommen daher, dass die relative Bewegung der beiden Inertialsysteme entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen stattfindet. Die einzige nichttriviale Aussage ist (1b), und sie können wir leicht aus dem folgenden Diagramm ablesen: Das Ereignis, dessen
Koordinaten umgerechnet werden, findet zur Zeit Die Umrechnungsformeln (1) können "invertiert", d.h. nach den gestrichenen Koordinaten aufgelöst werden. Das entspricht der umgekehrten Transformation, in der die Rolle der beiden Inertialsysteme vertauscht ist. Das Resultat sieht dann im Prinzip genauso aus wie (1), allerdings mit zwei Unterschieden:
Letzteres entspricht der Erwartung, denn wenn sich I' in I mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, bewegt sich I in I' mit Geschwindigkeit -v in x'-Richtung. Die "inverse Transformation" bildet daher ebenso eine Galileitransformation wie (1). Die Formeln (1) können verallgemeinert werden: Wenn zwei Inertialsysteme betrachtet werden, deren x-Achsen nicht so schön in Bewegungsrichtung orientiert sind, werden die Umrechungsformeln für Ereigniskoordinaten eine Spur komplizierter. Darauf wollen wir aber nicht näher eingehen. Die Galileitransformation
(1) kann als die Grundlage für das Raum- und Zeitkonzept der vorrelativistischen
Physik angesehen werden. Letztlich folgt sie aus der alltäglichen
Bedeutung der Begriffe "Ort", "Zeit" und "Geschwindigkeit",
und sie erscheint uns gefühlsmäßig als Selbstverständlichkeit.
Allerdings, und das müssen wir akzeptieren, gilt sie physikalisch
nicht, d.h. sie ist durch Beobachtungen widerlegt. Wir werden
weiter unten sehen, dass
die Spezielle Relativitätstheorie auf unsere Ausgangsfrage eine
andere Antwort gibt.
Nun wenden wir
uns erneut unserer Fragestellung zu, unterstellen aber diesmal die Gültigkeit
der Speziellen Relativitätsheorie. In Bezug auf ein gegebenes Inertialsystem
I ist im Prinzip klar,
wie die Koordinaten Zunächst können wir die beiden Formeln (1c) und (1d) ohne Änderungen übernehmen, da die Relativbewegung entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen der beiden Systeme stattfindet, und da die Lorentzkontraktion nur eine Verkürzung in Bewegungsrichtung (also in x- bzw. x'-Richtung) ist. (Quereffekte, die die Koordinaten y, z, y' und z' betreffen, haben wir ja oben ausgeschlossen). Weiters können wir annehmen, dass die Ausdrücke für t' und x' nicht von y und z abhängen. Und schließlich haben wir oben argumentiert, dass sie gesuchten Formeln linear sind. Damit gelangen wir zum Schluss, dass sie die Struktur
haben, wobei a, b, r und s Konstante sind, die nur von v abhängen, und die wir nun nacheinander bestimmen wollen. Ein erster Hinweis
ergibt sich, wenn wir fragen, wie ein in I'
ruhendes Teilchen in beiden Systemen beschrieben wird. Im (x' t')-Diagramm
von I' (ab nun wollen
wir die Koordinaten y
und z ignorieren)
ist seine Weltlinie eine Gerade, die klarerweise (da sich das Teilchen
bei irgendeinem festen Wert von x'
befindet) durch eine Gleichung der Form
womit
die Konstante s in (2b)
als
Den nächsten
Hinweis erhalten wir, indem wir fragen, wie Ereignisse, die in I'
gleichzeitig stattfinden, in I
dargestellt werden. (Wieder ignorieren wir die Koordinaten y
und z).
Per Definition finden zwei Ereignisse in I'
gleichzeitig statt, wenn sie die gleichen t'-Koordinaten
haben. Jede Gleichung der Form Gleichzeitigkeit in I' kann mit Hilfe von Lichtsignalen (Photonen) hergestellt oder überprüft werden: Wir stellen uns vor, dass in I' ein Maßstab (entlang der x'-Achse orientiert) ruht. Werden zwei Photonen von dessen Halbierungspunkt in beide Richtungen geschickt, so kommen sie (bezüglich I') gleichzeitig an. (Das ist die Methode der Synchronisation von Uhren, die in der Einleitung und im Abschnitt Gleichzeitigkeit besprochen worden ist). Wir wollen diese Methode nun rechnerisch auswerten: Bewegt sich das
linke Ende des Maßstabs in I
gemäß
Zwei
Ereignisse
finden genau dann in I'
gleichzeitig statt, wenn ihre in I
gemessenen Koordinatendifferenzen diese Gleichung erfüllen!
(Sie gilt ganz allgemein: Da kein Zeitpunkt ausgezeichnet ist, ist sie
auch dann erfüllt, wenn unsere Annahme, dass die beiden Photonen
zur Zeit
wodurch
die Konstante b in (2a)
als
Wir wollen nun die beiden Konstanten a und r bestimmen. Die Konstante a gibt an, wie sich die "Zeitflüsse" in beiden Inertialsystemen voneinander unterscheiden. Wir können sie mit Hilfe des bereits erzielten Resultats über die Zeitdilatation ermitteln. Falls eine Uhr in I ruht und ihre Periodendauer in diesem System durch Dt gegeben ist, besagt Formel (5), dass ihre Periodendauer in I' als Dt' = a Dt gemessen wird (Dx = 0, da die Uhr in I ruht). Diese Aussage vergleichen wir mit der Formel für die Zeitdilatation (Formel (2) im betreffenden Abschnitt) und erhalten
Die
Konstante r wird über den
uns bereits bekannten Effekt der Lorentzkontraktion bestimmt.
Betrachten wir einen Maßstab, der in I'
zwischen
Damit sind alle Konstanten in (2) ermittelt, und wir können die gesuchten Umrechnungsformeln hinschreiben. Die in (6) und (7) auftretende Größe bekommt den Namen
womit unser endgültiges Resultat lautet:
Diese
Formeln zur Umrechnung von Ereigniskoordinaten heißen Lorentztransformation.
Sie bilden das Kernstück der Speziellen Relativitätstheorie.
Setzt man Eine wichtige Eigenschaft der Formeln (9) ist, dass sie "invertiert", d.h. nach den gestrichenen Koordinaten aufgelöst werden können. Das entspricht der umgekehrten Transformation, in der die Rolle der beiden Inertialsysteme vertauscht ist. Das Resultat sieht dann im Prinzip genauso aus wie (9), allerdings mit zwei Unterschieden:
Wie im Fall der Galileitransformation entspricht das der Erwartung, denn wenn sich I' in I mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, bewegt sich I in I' mit Geschwindigkeit -v in x'-Richtung. Die "inverse Transformation" bildet daher ebenso eine Lorentztransformation wie (9). Die Formeln (9) können verallgemeinert werden: Wenn zwei Inertialsysteme betrachtet werden, deren x-Achsen nicht so schön in Bewegungsrichtung orientiert sind, werden die Umrechungsformeln für Ereigniskoordinaten etwas komplizierter. Darauf wollen wir aber nicht näher eingehen. (Literaturtipp hierzu: R. Sexl und H. K. Urbantke: Relativität, Gruppen, Teilchen, Springer-Verlag). Unsere Herleitung der Lorentztransformation war vielleicht ein bisschen mühsam. Es gibt elegantere Varianten, die aber mehr mathematische Vorarbeit verlangen. (Eine besonders schöne Herleitung findet sich im Abschnitt über den Bondischen k-Kalkül). Weiters
gibt es eine grafische Veranschaulichungsform der Lorentztransformation,
die beim Verständnis hilft. Wir haben sie bisher nicht beansprucht,
um so zügig wie möglich das Resultat (9) zu erreichen, holen
sie aber zum Abschluss noch nach.
Wie wir bereits
wissen, kann die Raumzeit (wenn die Koordinaten y
und z ignoriert
werden) bezüglich jedes Inertialsystems in Form eines Raumzeit-Diagramms
veranschaulicht werden. Die t-Achse
von I ist die Weltlinie
eines in I bei Analog dazu ist
die t'-Achse von I'
die Weltlinie eines in I'
bei Wir zeigen zuerst die fertige Antwort: Das physikalisch Neue (und vielleicht Verstörende) ist die Lage der x'-Achse - auf ihr ist t' = 0, d.h. alle Ereignisse auf ihr sind in I' gleichzeitig! Der Winkel, den sie mit der x-Achse in diesem Diagramm einschließt, ist gleich dem Winkel, den die t- und die t'-Achse einschließen. Die vier Achsen bilden also eine bezüglich der strichliert eingezeichneten Photonen-Weltlinie symmetrische Figur. Die Lage der t'-Achse entspricht der alltäglichen Erwartung (ihr Anstieg ist 1/v), aber die Lage der x'-Achse ist eine Spezialität der Relativitätstheorie. Ihr Anstieg ist v/c2, und das entspricht genau unserem obigen Resultat (4). (Als Anstieg würde man zunächst v erwarten, aber die Einheiten, die es gestatten, Weltlinien von Photonen als 45°-Geraden zu identifizieren, erzeugen den zusätzlichen Nenner c2). Die Lage der Achsen im obigen Diagramm beruht also hauptsächlich auf Gleichung (4), die wir oben auf rechnerischem Weg abgeleitet haben. Wer will, kann alternativ dazu auch eine von zwei grafischen Argumentationen wählen, die direkt zur korrekten Richtung der x'-Achse im obigen Raumzeit-Diagramm führen. Sie entsprechen den beiden im Abschnitt Gleichzeitigkeit besprochenen physikalischen Verfahren, die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse sicherzustellen. Die erste Methode ist im folgenden Raumzeit-Diagramm dargestellt: Die Gleichzeitigkeit der Ereignisse A und B in I' wird sichergestellt, indem vom Halbierungspunkt M eines in I' ruhenden Maßstabs (dessen "Weltfläche" grau unterlegt ist) zwei Photonen ausgesandt werden. (Das ist auch die Methode, die wir oben benutzt haben, um rechnerisch zum Resultat (4) zu gelangen). Es ist eine reizvolle Aufgabe, anhand dieses Diagramms durch geometrisches Argumentieren (d.h. ohne aufwendige Rechnung) zu zeigen, dass die Strecke von AB (die per Definition parallel zur x'-Achse ist) mit der x-Achse den gleichen Winkel einschließt wie die t'-Achse mit der t-Achse. In der zweiten Methode, die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse A und B in I' sicherzustellen, sendet, wie im nächsten Raumzeit-Diagramm gezeigt, ein im Ursprung von I' ruhender Beobachter ein Lichtsignal aus (C), das im Ereignis B reflektiert wird und wieder zurückkehrt (D). Dann liegt A genau in der Mitte der Strecke CD. (Physikalisch ausgedrückt: Für unseren Beobachter vergeht zwischen C und A die gleiche Eigenzeit wie zwischen A und D). Wieder ist es eine schöne Aufgabe, anhand dieses Diagramms durch geometrisches Argumentieren (d.h. ohne aufwendige Rechnung) zu zeigen, dass die Strecke von AB (die per Definition parallel zur x'-Achse ist) mit der x-Achse den gleichen Winkel einschließt wie die t'-Achse mit der t-Achse. Warnung zu den letzten beiden Diagrammen: Die physikalische Länge der Strecke AB in I' (im ersten der beiden Diagramme ist das die Länge des Maßstabs in seinem Ruhsystem) ist nicht identisch mit der Länge der Strecke AB, wie sie in den Diagrammen auftritt! Die physikalischen Einheiten auf den gestrichenen Achsen entsprechen nicht den Längen im Diagramm. (Dieses "Einheiten-Problem" entspringt einer Feinheit der Raumzeit-Diagramme, die sich in den abschließenden Bemerkungen des Abschnitts über die Geometrie der Raumzeit ganz zwanglos aufklären wird). Als Vertiefung sei das interaktive Java-Applet Lorentztransformation empfohlen. Es erlaubt die Ablesung von Ereigniskoordinaten in beiden Inertialsystemen, die Diskussion der Zeitdilatation und der Lorentztransformation in dieser grafischen Darstellung und zeigt die auf den gestrichenen Achsen zu verwendenden physikalischen Einheiten an. Insgesamt haben
wir damit eine Methode zur Hand, um zwei Inertialsysteme in
einem Raumzeit-Diagramm zu berücksichtigen, und um
Ereignisse, die in einem bewegten Inertialsystem gleichzeitig
stattfinden, bezüglich eines anderen Inertialsystems
grafisch darzustellen.
Wir wollen zuletzt noch kurz auf das Thema eines früheren Abschnitts eingehen: Die grafische Methode ist unter anderem bei der Analyse der Lorentzkontraktion hilfreich. Wir haben sie im entsprechenden Abschnitt eigentlich schon angewandt, nur hat ein kleines Detail gefehlt: der Winkel der hellblauen Strecke im letzten Diagramm des Abschnitts über die Lorentzkontraktion (das den konzeptuellen Unterschied zwischen Längenkontraktion und Zeitdilatation zum Thema hat). Wir zeigen es hier noch einmal: Die hellblaue Linie ist - in der oben entwickelten Sprache - schlicht und einfach parallel zur x'-Achse (wenn I' das Ruhsystem des Maßstabs bezeichnet). Sie illustriert, dass zur Messung der Länge des Maßstabs in I' zwei Ereignisse (E und F: eines an jedem Ende) benötigt werden, die in I' gleichzeitig stattfinden. Die hellblaue Strecke stellt ein "jetzt" im System I' dar, die dunkelblaue Strecke repräsentiert ein "jetzt" im System I. |
¬ Relativistische Geschwindigkeitsaddition |
Übersicht |
Zwillingsparadoxon und Geodäten der Raumzeit ® |