Spezielle Relativitätstheorie


8. Lorentztransformation
 

Die Lorentztransformation ist das Herz der Speziellen Relativitätstheorie. Auf dieser Seite wird einer der "klassischen" Zugänge vorgeführt. Als Voraussetzungen benötigt er die Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion sowie den Begriff der "Gleichzeitigkeit in einem Inertialsystem" und die Methode, Uhren mit Hilfe von Lichtsignalen zu synchronisieren.

Eine elegantere Herleitung der Lorentztransformation findet sich im Abschnitt über den Bondischen k-Kalkül.

Die Problemstellung

In einem gegebenen Inertialsystem wird jedes Ereignis durch vier Zahlen dargestellt: drei Ortskoordinaten (wo) und eine Zeitkoordinate (wann). Dasselbe Ereignis wird in einem anderen Inertialsystem ebenfalls durch vier Zahlen dargestellt. Die Frage, auf die die Lorentztransformation die Antwort ist, lautet: In welcher Beziehung stehen die Raumzeit-Koordinaten eines Ereignisses bezüglich verschiedener Inertialsysteme? Oder, allgemeiner ausgedrückt: Wie unterscheiden sich die in verschiedenen Inertialsystemen gemachten Beobachtungen eines Prozesses?

Um uns einer Antwort anzunähern, legen wie zunächst zwei Inertialsysteme I und I' fest, die sich relativ zueinander mit einer Geschwindigkeit v bewegen. Wir wollen die räumlichen Koordinatensysteme so orientieren, dass die x-Achsen beider Systeme zusammenfallen und in die relative Bewegungsrichtung weisen. Vom System I aus betrachtet, bewege sich das räumliche Koordinatensystem von I' mit Geschwindigkeit v in x-Richtung, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt ist:

Die dritte Raumdimension (z und z') haben wir in der Zeichnung unterdrückt. Weiters wollen wir annehmen, dass die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme genau dann zusammenfallen, wenn die Uhren im System I die Zeit t = 0 und die Uhren im System I' die Zeit t' = 0 anzeigen. Werden die Koordinaten y, z, y' und z' ignoriert, so kann die Raumzeit in bezug auf diese Inertialsysteme in je einem Raumzeit-Diagramm - einem (x t)-Diagramm und einem (x' t')-Diagramm - dargestellt und Teilchenbewegungen als Weltlinien eingezeichnet werden. Obwohl unsere Argumentation hauptsächlich rechnerisch sein wird, ist es nützlich, das im Auge zu behalten.

Nun finde irgendein Ereignis A statt. Im Inertialsystem I wird es durch die vier Koordinaten (t, x, y, z) dargestellt, und im Inertialsystem I' durch die vier Koordinaten (t', x', y', z'). Wie können diese beiden Quadrupel von Ereigniskoordinaten ineinander umgerechnet werden? Wenn etwa (t, x, y, z) gegeben sind - können wir dann (t', x', y', z') berechnen (und umgekehrt)?

Das ist die Ausgangsfrage. Wenn wir eine Antwort finden, können wir von jedem physikalischen Prozess, der aus einer Menge von Ereignissen besteht (z.B. die Kreisbewegung eines Elektrons im Magnetfeld eines Teilchenbeschleunigers), und der in einem Inertialsystem beobachtet wird, voraussagen, wie er in einem anderen Inertialsystem wahrgenommen wird. Insbesondere sollten sich dann die Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion, aber auch abgeleitete Effekte wie die relativistische Geschwindigkeitsaddition automatisch aus den Umrechnungsformeln ergeben. Diese Formeln würden dann sozusagen die "Grundgleichungen der Speziellen Relativitätstheorie" darstellen.

Und so ist es auch. Um ein besseres Verständnis dieser Formeln zu erzielen, wollen wir uns aber vorerst eines verdeutlichen: Die Antwort auf die Frage nach der Umrechnung von Ereigniskoordinaten hängt von der zugrundliegenden Theorie ab. Die Frage läßt sich bereits im Rahmen der galileischen Physik (in der es das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nicht gibt) stellen und beantworten. Bevor wir uns der Speziellen Relativitätstheorie zuwenden, wollen wir zuerst eine allgemeine - von der Theorie unabhängige - Eigenschaft der gesuchten Umrechnungsformeln feststellen und uns dann ansehen, wie Galileis Antwort gelautet hat. Erst danach werden wir uns wieder der Relativitätstheorie zuwenden.
 

Linearität

Zunächst wissen wir eine Sache von vornherein: Die gesuchten Umrechnungsformeln müssen linear sein. Erinnern wir uns: ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem jede kräftefreie Bewegung geradlinig gleichförmig erscheint. Die zurückgelegte Entfernung (ausgedrückt durch die räumlichen Koordinaten) wächst dann linear mit der Zeit. Weltlinien kräftefreier Körper sind immer Geraden. Die gesuchten Umrechnungsformeln müssen das natürlich respektieren: Es muss jede geradlinig gleichförmige Bewegung in I in eine geradlinig gleichförmige Bewegung in I' übergeführt werden. Das ist nur möglich, wenn jede Raumzeit-Koordinate des Systems I' eine lineare (oder linear-inhomogene) Funktion der Raumzeit-Koordinaten des Systems I ist, also beispielsweise  t' = a0 t + a1 x + a2 y + a3 z + d  für die t'-Koordinate, wobei a0, a1, ... und d Konstante sind, die nur von den beiden Inertialsystemen (nicht aber vom Ereignis, dessen Koordinaten gerade übersetzt werden) abhängen. Wichtig ist, dass hier keine höheren Ordnungen (etwa Quadrate) der Koordinaten auftreten. Für die anderen gestrichenen Koordinaten x', y' und z' können wir analoge Ansätze anschreiben, so dass die gesuchten Umrechnungsformeln also durch insgesamt 20 Konstanten charakterisiert sind.

Betrachten wir gleich ein konkretes Ereignis: das Zusammenfallen der Ursprünge der räumlichen Koordinatensysteme. Nach unseren obigen Annahmen (dass die Koordinatenursprünge irgendwann zusammenfallen, und dass dies in beiden Systemen zur Zeit 0 geschieht) hat dieses Ereignis in I und in I' die Koordinatenwerte (0, 0, 0, 0). Setzen wir das in den obigen Ansatz für t' ein, so erhalten wir die Aussage 0 = d und haben damit zumindest eine der Konstanten bestimmt. Auch für die anderen gestrichenen Koordinaten fallen die entsprechenden Konstanten (die inhomogenen Anteile) weg, womit wir die Zahl der Konstanten auf 16 (eine 4×4-Matrix) reduziert haben. Da wir die relative Bewegung und Orientierung der Inertialsysteme schon oben festgelegt haben (x- und x'-Achse fallen zusammen und bilden die relative Bewegungsrichtung), ist - physikalisch gesehen - alles außer dem Wert v der Relativgeschwindigkeit bereits eindeutig festgelegt. Wir erwarten daher, dass die 16 Konstanten nur mehr von v abhängen. Unser Ziel besteht darin, sie (zuerst für die galileische Physik und danach für die Spezielle Relativitätstheorie) zu bestimmen.
 

Fehlen von Quereffekten

Eine weitere Sache ist von vornherein klar: Die gesuchten Umrechnungsformeln lassen keine Längenveränderungen quer zur Bewegungsrichtung (genauer: normal zur Bewegungsrichtung) zu. Um das einzusehen, betrachten wir zwei Zylinder, die in ihren Ruhsystemen den gleichen Radius haben und sich in Längsrichtung relativ zueinander bewegen, und zwar so, dass ihre Achsen zusammenfallen. Gäbe es nun beispielsweise eine Verkürzung von Längen quer zur Bewegungsrichtung, so wäre aus der Sicht eines Beobachters, für den der erste Zylinder ruht, der Radius des zweiten Zylinders verkleinert. Daher würde der erste Zylinder den zweiten umschließen. Von außen würde man nur den ersten Zylinder sehen. Aus der Sicht eines Beobachters, für den der zweite Zylinder ruht, wäre es genau umgekehrt - ein klarer Widerspruch! Es folgt, dass die Radien der beiden Zylinder für beide Beobachter gleich groß sind.

Findet die Relativbewegung unserer beiden räumlichen Koordinatensysteme, wie oben festgelegt, entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen statt, so sind Längen quer zu diesen Achsen in beiden Systemen gleich. Wird die y'-Achse parallel zur y-Achse und die z'-Achse parallel zur z-Achse ausgerichtet (was immer durch eine Drehung der Achsen in der y'z'-Ebene erreicht werden kann, und was wir im Folgenden annehmen), so gilt y' = y und z' = z.
 

Galileitransformation

Im Rahmen der galileischen Physik lautet die Antwort auf unsere Frage folgendermaßen:

t'   =   t
x'   =   x - v t
y'   =   y
z'   =   z
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)

Diese Formeln zur Umrechnung von Ereigniskoordinaten im Rahmen der galileischen Physik heißen Galileitransformation. (1a) ist widerspiegelt die Tatsache, dass die Zeit in der galileischen Physik eine absolute Größe ist: sie hängt nicht vom Beobachter ab. (1c) und (1d) kommen daher, dass die relative Bewegung der beiden Inertialsysteme entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen stattfindet. Die einzige nichttriviale Aussage ist (1b), und sie können wir leicht aus dem folgenden Diagramm ablesen:

Das Ereignis, dessen Koordinaten umgerechnet werden, findet zur Zeit t ( = t' ) statt, und sein Ort ist als roter Punkt eingezeichnet. (x- und die x'-Achse sind in der Zeichnung nach rechts, y- und die y'-Achse nach oben orientiert). Zur Zeit t ist die Position der y'-Achse im System I durch x = v t gegeben, woraus sich (1b) ergibt.

Die Umrechnungsformeln (1) können "invertiert", d.h. nach den gestrichenen Koordinaten aufgelöst werden. Das entspricht der umgekehrten Transformation, in der die Rolle der beiden Inertialsysteme vertauscht ist. Das Resultat sieht dann im Prinzip genauso aus wie (1), allerdings mit zwei Unterschieden:

  • Die Rolle der gestrichenen und der ungestrichenen Koordinaten ist vertauscht, und
  • v ist durch -v ersetzt.

Letzteres entspricht der Erwartung, denn wenn sich I' in I mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, bewegt sich I in I' mit Geschwindigkeit -v in x'-Richtung. Die "inverse Transformation" bildet daher ebenso eine Galileitransformation wie (1).

Die Formeln (1) können verallgemeinert werden: Wenn zwei Inertialsysteme betrachtet werden, deren x-Achsen nicht so schön in Bewegungsrichtung orientiert sind, werden die Umrechungsformeln für Ereigniskoordinaten eine Spur komplizierter. Darauf wollen wir aber nicht näher eingehen.

Die Galileitransformation (1) kann als die Grundlage für das Raum- und Zeitkonzept der vorrelativistischen Physik angesehen werden. Letztlich folgt sie aus der alltäglichen Bedeutung der Begriffe "Ort", "Zeit" und "Geschwindigkeit", und sie erscheint uns gefühlsmäßig als Selbstverständlichkeit. Allerdings, und das müssen wir akzeptieren, gilt sie physikalisch nicht, d.h. sie ist durch Beobachtungen widerlegt. Wir werden weiter unten sehen, dass die Spezielle Relativitätstheorie auf unsere Ausgangsfrage eine andere Antwort gibt.
 

Der Ansatz

Nun wenden wir uns erneut unserer Fragestellung zu, unterstellen aber diesmal die Gültigkeit der Speziellen Relativitätsheorie. In Bezug auf ein gegebenes Inertialsystem I ist im Prinzip klar, wie die Koordinaten (t, x, y, z) eines Ereignisses gemessen werden können und was sie bedeuten. In welchem Verhältnis stehen sie aber zu den in einem anderen Inertialsystem I' gemessen Koordinaten (t', x', y', z')? Die Formeln (1) können diesen Übergang von I auf I' nicht richtig darstellen, da sie die uns bereits bekannten Effekte der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion nicht beschreiben. Wie lauten also die korrekten Transformationsformeln? Um sie zu finden, müssen wir Schritt für Schritt vorgehen.

Zunächst können wir die beiden Formeln (1c) und (1d) ohne Änderungen übernehmen, da die Relativbewegung entlang der (zusammenfallenden) x-Achsen der beiden Systeme stattfindet, und da die Lorentzkontraktion nur eine Verkürzung in Bewegungsrichtung (also in x- bzw. x'-Richtung) ist. (Quereffekte, die die Koordinaten y, z, y' und z' betreffen, haben wir ja oben ausgeschlossen). Weiters können wir annehmen, dass die Ausdrücke für t' und x' nicht von y und z abhängen. Und schließlich haben wir oben argumentiert, dass sie gesuchten Formeln linear sind. Damit gelangen wir zum Schluss, dass sie die Struktur

t'   =   a t + b x
x'   =   r x + s t
y'   =   y
z'   =   z
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)

haben, wobei a, b, r und s Konstante sind, die nur von v abhängen, und die wir nun nacheinander bestimmen wollen.

Ein erster Hinweis ergibt sich, wenn wir fragen, wie ein in I' ruhendes Teilchen in beiden Systemen beschrieben wird. Im (x' t')-Diagramm von I' (ab nun wollen wir die Koordinaten y und z ignorieren) ist seine Weltlinie eine Gerade, die klarerweise (da sich das Teilchen bei irgendeinem festen Wert von x' befindet) durch eine Gleichung der Form x' = const gegeben ist. Da sich das System I' von I aus betrachtet mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, ist die Bewegung (und daher die Weltlinie) des Teilchens in I durch  x = v t + const  charakterisiert (wobei die Konstante den Anfangsort zur Zeit t = 0 darstellt). Dies schreiben wir als  x - v t = const. Es muss also jede Weltlinie, die in I' die Form  x' = const  hat, in I durch  x - v t = const  gegeben sein und umgekehrt. Das ist nur möglich, wenn x' eine Funktion von  x - v t  ist. Da x' von x und t linear abhängt, ist die gesuchte Funktion von der Form

x'   =   r (x - v t),
(3)

womit die Konstante s in (2b) als -v r bestimmt ist. (Dasselbe Argument lässt sich übrigens auch in der galileischen Physik anwenden: Formel (1b) ist ebenfalls von dieser Form).
 

Gleichzeitigkeit in I', von I aus betrachtet

Den nächsten Hinweis erhalten wir, indem wir fragen, wie Ereignisse, die in I' gleichzeitig stattfinden, in I dargestellt werden. (Wieder ignorieren wir die Koordinaten y und z). Per Definition finden zwei Ereignisse in I' gleichzeitig statt, wenn sie die gleichen t'-Koordinaten haben. Jede Gleichung der Form t' = const definiert im (x' t')-Diagramm von I' eine (zur x'-Achse parallele) Gerade mit der Eigenschaft, dass alle auf ihr liegenden Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Wie sieht eine solche Menge von Ereignissen in I aus? Hier tritt der erste Unterschied zur galileischen Physik auf: Wir erwarten, dass sie nicht durch eine Gleichung der Form t = const gegeben ist, da Gleichzeitigkeit im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie kein absoluter Begriff ist: Zwei Ereignisse, die in I' gleichzeitig sind, sind in I nicht gleichzeitig.

Gleichzeitigkeit in I' kann mit Hilfe von Lichtsignalen (Photonen) hergestellt oder überprüft werden: Wir stellen uns vor, dass in I' ein Maßstab (entlang der x'-Achse orientiert) ruht. Werden zwei Photonen von dessen Halbierungspunkt in beide Richtungen geschickt, so kommen sie (bezüglich I') gleichzeitig an. (Das ist die Methode der Synchronisation von Uhren, die in der Einleitung und im Abschnitt Gleichzeitigkeit besprochen worden ist). Wir wollen diese Methode nun rechnerisch auswerten:

Bewegt sich das linke Ende des Maßstabs in I gemäß  x = xL + v t  und das rechte gemäß  x = xR + v t, und werden die Photonen (der Einfachheit halber) zur Zeit t = 0 abgeschickt, so ist die Bewegung des linkslaufenden Photons (in I) durch  x = xM - c t, die des rechtslaufenden durch  x = xM + c t  gegeben, wobei  xM = (xL + xR)/2 ist. Durch Lösung einer einfachen "Fahrplanaufgabe" kann ermittelt werden, dass das linkslaufende Photon das linke Ende des Maßstabs zur Zeit  tL = d / (c + v)  am Ort  xL + v t erreicht und das rechtslaufende Photon das rechte Ende zur Zeit  tR = d / (c - v)  am Ort  xR + v tR, wobei  d = (xR - xL)/2  ist. Daraus folgt: Die in I gemessene Zeitdifferenz dieser beiden (in I' gleichzeitig stattfindenden) Ereignisse ist  Dt = 2 d v /(c2 - v2), ihr in I gemessener räumlicher Abstand (die Differenz ihrer Ortskoordinaten) ist  Dx = 2 d c2 /(c2 - v2). Daher ist

Dt/Dx = v/c2 .
(4)

Zwei Ereignisse finden genau dann in I' gleichzeitig statt, wenn ihre in I gemessenen Koordinatendifferenzen diese Gleichung erfüllen! (Sie gilt ganz allgemein: Da kein Zeitpunkt ausgezeichnet ist, ist sie auch dann erfüllt, wenn unsere Annahme, dass die beiden Photonen zur Zeit t = 0 abgeschickt werden, fallengelassen wird). Wir können sie umformen zu  Dt - (v/c2) Dx = 0. Aus dieser Form lesen wir ab: Die Menge aller Ereignisse, die in I' gleichzeitig mit einem gegebenen Ereignis stattfinden, bildet im (x t)-Diagramm von I eine Gerade mit Anstieg (4), oder, anders formuliert, eine Gerade, entlang der  t - (v/c2) x = const  ist. (Weiter unten wird eine grafische Darstellung dieses Sachverhalts sowie ein Hinweis auf einen geometrischen Beweis von (4) gegeben). Andererseits ist in I' dieselbe Menge von Ereignissen durch eine Gleichung der Form t' = const gegeben. Wir schließen daraus, dass t' eine Funktion von  t - (v/c2) x  ist. Da diese Funktion linear ist, folgt, dass

t'   =   a (t - (v/c2) x),
(5)

wodurch die Konstante b in (2a) als -v a/c2 bestimmt ist. Mit (3) und (5) haben wir die gesuchten Umrechnungsformeln bis auf die zwei verbleibenden Konstanten a und r bestimmt.
 

Lorentztransformation

Wir wollen nun die beiden Konstanten a und r bestimmen. Die Konstante a gibt an, wie sich die "Zeitflüsse" in beiden Inertialsystemen voneinander unterscheiden. Wir können sie mit Hilfe des bereits erzielten Resultats über die Zeitdilatation ermitteln. Falls eine Uhr in I ruht und ihre Periodendauer in diesem System durch Dt gegeben ist, besagt Formel (5), dass ihre Periodendauer in I' als Dt' = a Dt gemessen wird (Dx = 0, da die Uhr in I ruht). Diese Aussage vergleichen wir mit der Formel für die Zeitdilatation (Formel (2) im betreffenden Abschnitt) und erhalten

a =  (1 - v2/c2 )-1/2 .
(6)

Die Konstante r wird über den uns bereits bekannten Effekt der Lorentzkontraktion bestimmt. Betrachten wir einen Maßstab, der in I' zwischen x' = 0 und x' = L0 ruht. In I hat er er aufgrund der Lorentzkontraktion (siehe die dortige Formel (2)) die (kürzere) Länge  L = L0 (1 - v2/c2 )1/2. Die Weltlinie des rechten Endes des Maßstabs ist also in I' durch die (Geraden-)Gleichung x' = L0 und in I durch die (Geraden-)Gleichung  x = L + v t  oder  x - v t = L  gegeben. Aufgrund von (3) kann dies als x' = L r umgeschrieben werden. Daraus folgt L0 = L r, und mit  L = L0 (1 - v2/c2 )1/2  folgt

r  =  (1 - v2/c2 )-1/2 .
(7)

Damit sind alle Konstanten in (2) ermittelt, und wir können die gesuchten Umrechnungsformeln hinschreiben. Die in (6) und (7) auftretende Größe bekommt den Namen

g  =  (1 - v2/c2 )-1/2 ,
(8)

womit unser endgültiges Resultat lautet:

t'   =   g ( t - (v/c2) x )
x'   =   g ( x - v t )
y'   =    y
z'   =    z
(9a)
(9b)
(9c)
(9d)

Diese Formeln zur Umrechnung von Ereigniskoordinaten heißen Lorentztransformation. Sie bilden das Kernstück der Speziellen Relativitätstheorie. Setzt man c = 1, so wird deutlich, welch schöne symmetrische Rolle Raum und Zeit in ihr spielen. Mit ihrer Hilfe ist es möglich, alle Effekte, die wir bisher kennengelernt haben, mit einem Schlag herzuleiten. (Formalere Darstellungen der Theorie stellen sie tatsächlich an den Anfang und leiten alle weiteren Raumzeit-Effekte daraus ab). Auch die Analyse tieferliegender Strukturen wie die Geometrie der Raumzeit oder die "vierdimensionale Tensor-Formulierung" (auf die wir hier nicht eingehen) setzen bei ihnen an.

Eine wichtige Eigenschaft der Formeln (9) ist, dass sie "invertiert", d.h. nach den gestrichenen Koordinaten aufgelöst werden können. Das entspricht der umgekehrten Transformation, in der die Rolle der beiden Inertialsysteme vertauscht ist. Das Resultat sieht dann im Prinzip genauso aus wie (9), allerdings mit zwei Unterschieden:

  • Die Rolle der gestrichenen und der ungestrichenen Koordinaten ist vertauscht, und
  • v ist durch -v ersetzt.

Wie im Fall der Galileitransformation entspricht das der Erwartung, denn wenn sich I' in I mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, bewegt sich I in I' mit Geschwindigkeit -v in x'-Richtung. Die "inverse Transformation" bildet daher ebenso eine Lorentztransformation wie (9).

Die Formeln (9) können verallgemeinert werden: Wenn zwei Inertialsysteme betrachtet werden, deren x-Achsen nicht so schön in Bewegungsrichtung orientiert sind, werden die Umrechungsformeln für Ereigniskoordinaten etwas komplizierter. Darauf wollen wir aber nicht näher eingehen. (Literaturtipp hierzu: R. Sexl und H. K. Urbantke: Relativitšt, Gruppen, Teilchen, Springer-Verlag).

Unsere Herleitung der Lorentztransformation war vielleicht ein bisschen mühsam. Es gibt elegantere Varianten, die aber mehr mathematische Vorarbeit verlangen. (Eine besonders schöne Herleitung findet sich im Abschnitt über den Bondischen k-Kalkül).

Weiters gibt es eine grafische Veranschaulichungsform der Lorentztransformation, die beim Verständnis hilft. Wir haben sie bisher nicht beansprucht, um so zügig wie möglich das Resultat (9) zu erreichen, holen sie aber zum Abschluss noch nach.
 

Grafische Darstellung der Lorentztransformation

Wie wir bereits wissen, kann die Raumzeit (wenn die Koordinaten y und z ignoriert werden) bezüglich jedes Inertialsystems in Form eines Raumzeit-Diagramms veranschaulicht werden. Die t-Achse von I ist die Weltlinie eines in I bei x = 0 ruhenden Teilchens, die x-Achse von I ist die Menge aller Ereignisse, die in I zur Zeit t = 0 stattfinden.

Analog dazu ist die t'-Achse von I' die Weltlinie eines in I' bei x' = 0 ruhenden Teilchens, und die x'-Achse von I' ist die Menge aller Ereignisse, die in I' zur Zeit t' = 0 stattfinden. Wie sehen diese beiden Mengen von Ereignissen aus, wenn sie in ein Raumzeitdiagramm bezüglich des Inertialsystems I eingezeichnet werden?

Wir zeigen zuerst die fertige Antwort:

Das physikalisch Neue (und vielleicht Verstörende) ist die Lage der x'-Achse - auf ihr ist t' = 0, d.h. alle Ereignisse auf ihr sind in I' gleichzeitig! Der Winkel, den sie mit der x-Achse in diesem Diagramm einschließt, ist gleich dem Winkel, den die t- und die t'-Achse einschließen. Die vier Achsen bilden also eine bezüglich der strichliert eingezeichneten Photonen-Weltlinie symmetrische Figur. Die Lage der t'-Achse entspricht der alltäglichen Erwartung (ihr Anstieg ist 1/v), aber die Lage der x'-Achse ist eine Spezialität der Relativitätstheorie. Ihr Anstieg ist v/c2, und das entspricht genau unserem obigen Resultat (4). (Als Anstieg würde man zunächst v erwarten, aber die Einheiten, die es gestatten, Weltlinien von Photonen als 45°-Geraden zu identifizieren, erzeugen den zusätzlichen Nenner c2).

Die Lage der Achsen im obigen Diagramm beruht also hauptsächlich auf Gleichung (4), die wir oben auf rechnerischem Weg abgeleitet haben. Wer will, kann alternativ dazu auch eine von zwei grafischen Argumentationen wählen, die direkt zur korrekten Richtung der x'-Achse im obigen Raumzeit-Diagramm führen. Sie entsprechen den beiden im Abschnitt Gleichzeitigkeit besprochenen physikalischen Verfahren, die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse sicherzustellen.

Die erste Methode ist im folgenden Raumzeit-Diagramm dargestellt:

Die Gleichzeitigkeit der Ereignisse A und B in I' wird sichergestellt, indem vom Halbierungspunkt M eines in I' ruhenden Maßstabs (dessen "Weltfläche" grau unterlegt ist) zwei Photonen ausgesandt werden. (Das ist auch die Methode, die wir oben benutzt haben, um rechnerisch zum Resultat (4) zu gelangen). Es ist eine reizvolle Aufgabe, anhand dieses Diagramms durch geometrisches Argumentieren (d.h. ohne aufwendige Rechnung) zu zeigen, dass die Strecke von AB (die per Definition parallel zur x'-Achse ist) mit der x-Achse den gleichen Winkel einschließt wie die t'-Achse mit der t-Achse.

In der zweiten Methode, die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse A und B in I' sicherzustellen, sendet, wie im nächsten Raumzeit-Diagramm gezeigt,

ein im Ursprung von I' ruhender Beobachter ein Lichtsignal aus (C), das im Ereignis B reflektiert wird und wieder zurückkehrt (D). Dann liegt A genau in der Mitte der Strecke CD. (Physikalisch ausgedrückt: Für unseren Beobachter vergeht zwischen C und A die gleiche Eigenzeit wie zwischen A und D). Wieder ist es eine schöne Aufgabe, anhand dieses Diagramms durch geometrisches Argumentieren (d.h. ohne aufwendige Rechnung) zu zeigen, dass die Strecke von AB (die per Definition parallel zur x'-Achse ist) mit der x-Achse den gleichen Winkel einschließt wie die t'-Achse mit der t-Achse.

Warnung zu den letzten beiden Diagrammen: Die physikalische Länge der Strecke AB in I' (im ersten der beiden Diagramme ist das die Länge des Maßstabs in seinem Ruhsystem) ist nicht identisch mit der Länge der Strecke AB, wie sie in den Diagrammen auftritt! Die physikalischen Einheiten auf den gestrichenen Achsen entsprechen nicht den Längen im Diagramm. (Dieses "Einheiten-Problem" entspringt einer Feinheit der Raumzeit-Diagramme, die sich in den abschließenden Bemerkungen des Abschnitts über die Geometrie der Raumzeit ganz zwanglos aufklären wird).

Als Vertiefung sei das interaktive Java-Applet

Lorentztransformation

aus der Mathematik-Sammlung
mathe online
(http://www.univie.ac.at/future.media/mo/)

empfohlen. Es erlaubt die Ablesung von Ereigniskoordinaten in beiden Inertialsystemen, die Diskussion der Zeitdilatation und der Lorentztransformation in dieser grafischen Darstellung und zeigt die auf den gestrichenen Achsen zu verwendenden physikalischen Einheiten an.

Insgesamt haben wir damit eine Methode zur Hand, um zwei Inertialsysteme in einem Raumzeit-Diagramm zu berücksichtigen, und um Ereignisse, die in einem bewegten Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, bezüglich eines anderen Inertialsystems grafisch darzustellen.
 

Nachtrag eines Details

Wir wollen zuletzt noch kurz auf das Thema eines früheren Abschnitts eingehen: Die grafische Methode ist unter anderem bei der Analyse der Lorentzkontraktion hilfreich. Wir haben sie im entsprechenden Abschnitt eigentlich schon angewandt, nur hat ein kleines Detail gefehlt: der Winkel der hellblauen Strecke im letzten Diagramm des Abschnitts über die Lorentzkontraktion (das den konzeptuellen Unterschied zwischen Längenkontraktion und Zeitdilatation zum Thema hat). Wir zeigen es hier noch einmal:

Die hellblaue Linie ist - in der oben entwickelten Sprache - schlicht und einfach parallel zur x'-Achse (wenn I' das Ruhsystem des Maßstabs bezeichnet). Sie illustriert, dass zur Messung der Länge des Maßstabs in I' zwei Ereignisse (E und F: eines an jedem Ende) benötigt werden, die in I' gleichzeitig stattfinden. Die hellblaue Strecke stellt ein "jetzt" im System I' dar, die dunkelblaue Strecke repräsentiert ein "jetzt" im System I.


¬   Relativistische
Geschwindigkeitsaddition
Übersicht Zwillingsparadoxon und Geodäten
der Raumzeit
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