Die Welt der Quanten-Gickse ist einem der einfachsten Quantensysteme, die es gibt,
nachempfunden: dem Spinfreiheitsgrad des Elektrons. Jede der vier Observablen entspricht
der Spinkomponente in eine Richtung in der
x-z-Ebene.
Dabei kann man sich die Bewegung des Teilchens entlang der
y-Richtung vorstellen.
Die Spinkomponente in
z-Richtung (sie entspricht der Augen-Observable der Gickse)
hat die berühmten Eigenzustände "spin up" (entspricht: beide Augen offen) und "spin down"
(entspricht: nur ein Auge offen).
Beziehung zwischen Gicks- und Spin-Zuständen:
Die Observablen Augen,
Haare,
Ohren und Mund entsprechen den Spinkomponenten
sz,
s 45°,
sx und
s- 45° .
Sie repräsentieren Messungen des Spins in diese vier Richtungen der x-z-Ebene:
In der Bedeutung von Elektronenspins kann
jede dieser vier Observablen in einem (eigenen) Stern-Gerlach-Experiment gemessen werden:
Nach Anlegen eines Magnetfelds in die jeweils angegebene Richtung werden die einfallenden Elektronen
in zwei Strahlen getrennt: in einem ist die entsprechende Spinkomponente 1/2, im anderen
-1/2 (mal der Planckschen Konstante).
Salopp formuliert: in einem ist der Spin parallel, im anderen antiparallel zum vorgegebenen Magnetfeld.
Wir haben es also hier mit vier verschiedenen Messgrößen zu tun.
(Zur Erinnerung: Die Komponenten des Spins in verschiedene Richtungen können
- ähnlich wie Ort und Impuls -
nicht gleichzeitig scharfe Werte annehmen. Hat eine einen scharfen Wert, so sind
die anderen notwendigerweise unbestimmt). Theoretisch gehört zu jeder räumlichen
Richtung eine solche Observable. Der Einfachheit halber haben wir die obigen vier
herausgegriffen.
Jede dieser vier Observablen besitzt zwei Eigenzustände. Sie sind im folgenden
folgenden Diagramm, das den (zweidimensionalen) Hilbertraum des Systems darstellt
(der nicht mit der x-z-Ebene
verwechselt werden darf), wiedergegeben:
Jeder Zustand entspricht einer Richtung im Hilbertraum
(wobei es auf die Orientierung nicht ankommt:
unter "Richtung" verstehen wir hier eine Gerade durch den Ursprung),
jede Observable entspricht einem Paar zueinander
orthogonaler Richtungen (für die hier dieselbe Farbe wie
für die entsprechende Observable in der darüberliegenden Abbildung
verwendet wurde).
Jede Observable entspricht daher einem Paar von Zuständen (ihren Eigenzuständen; das sind jene,
in denen sie einen scharfen Wert hat). Jeder Zustand ist im Diagramm charakterisiert
- durch eine Farbe, die angibt, von welcher Observable er Eigenzustand ist (d.h. welche der vier Observablen
in ihm einen scharfen Wert hat)
- und eine Zahl (für Spins) bzw. ein Symbol (für Gickse), die diesen Wert darstellt.
(Die Eigenwerte für den Spin sind (wie in der Quantentheorie üblich)
als 1 und -1 dargestellt;
tatsächlich sind sie 1/2 und -1/2 mal der Planckschen Konstante).
Der Gicks-Zustand "Mund lacht" entspricht beispielsweise dem Spin-Zustand, in dem die Spinkomponente
s- 45°
den Wert 1 hat. Wird in diesem Zustand eine andere Observable,
sagen wir "Augen" (entspricht sz), gemessen, so sind zwei Messausgänge
möglich:
- "beide Augen offen" (entspricht 1 oder "spin up"). Das geschieht
mit der Wahrscheinlichkeit cos2a, wobei
a der Winkel zwischen der Richtung "Mund lacht" und der Richtung
"beide Augen offen" ist. Wir lesen ab:
a = 67.5°
(drei Viertel des rechten Winkels), daher ist die Wahrscheinlichkeit (gerundet) 0.146.
- "nur ein Auge offen" (entspricht -1
oder "spin down"). Das geschieht
mit der Wahrscheinlichkeit cos2b, wobei
b der Winkel zwischen der Richtung "Mund lacht" und der Richtung
"nur ein Auge offen" ist. Wir lesen ab:
b = 22.5°
(ein Viertel des rechten Winkels), daher ist die Wahrscheinlichkeit (gerundet) 0.854.
Das interaktive Gicks-System ist so programmiert, dass die auftretenden Wahrscheinlichkeiten genau
diesem Muster entsprechen. Davon abgesehen, dass wir
- lediglich vier Observable und die zugehörigen acht Eigenzustände betrachten und
- jeden Bezug zu komplexen Zahlen vermieden haben,
verhalten sich die Gickse genauso wie Elektronenspins,
stellen also die Simulation eines "echten" quantenmechanischen Systems dar.
Zur Struktur der Quantentheorie:
Anhand des Gicks-Systems können die wesentlichen Strukturelemente der Quantentheorie
illustriert werden:
Zunächst ist es praktisch, Zustände als (Einheits-)Vektoren ("Zustandsvektoren") im Hilbertraum
darzustellen (wobei man dann allerdings bedenken muss, dass der jeweils entgegengesetzte Vektor
dieselbe Richtung, also auch
denselben Zustand repräsentiert). So könnte man beispielsweise die drei Zustände
- "beide Augen offen" (spin up),
- "nur ein Auge offen" (spin down) und
- "Ohren fliegen" (Spinkomponente in
x-Richtung ist 1)
im Hilbertraum so darstellen:
Hier wird eine für das klassische Denken befremdliche Beziehung
zwischen diesen drei Zustandsvektoren sichtbar: Der Zustandsvektor für "Ohren fliegen" ist eine
Linearkombination der beiden Augen-Zustandsvektoren (in diesem Fall einfach
2 -1/2 mal ihrer Summe).
Die relative Lage dieser drei Vektoren zueinander hat eine physikalische Bedeutung:
Wird die Observable "Augen" im Zustand "Ohren fliegen" gemessen,
so sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Messausgänge
- wie oben beschrieben -
durch die Winkel zwischen den entsprechenden Zustandsvektoren bestimmt.
Der Cosinus des Winkel zwischen zwei Einheitsvektoren ist aber nichts anderes als
die Länge der Projektion des einen auf den anderen. Zeichnen wir die beiden
Projektionen, um die es geht, ein:
Die Wahrscheinlichkeit für den Messausgang "beide Augen offen" ist das Quadrat
der Länge der Strecke a,
die Wahrscheinlichkeit für den Messausgang "nur ein Auge offen" ist das Quadrat
der Länge der Strecke b.
(In diesem Fall sind beide Ausgänge gleich wahrscheinlich, da
a2 =
b2 = 1/2).
Drehen wir nun den Spieß um und nehmen an, eine große Menge von
Beobachtungsdaten (aus denen sich die Wahrscheinlichkeiten für Messausgänge
verschiedener Observablen in verschiedenen Zuständen gewinnen lassen), liege vor.
Dann kann durch die drei Annahmen
- jeder Zustand ist durch eine Richtung (oder einen Einheitsvektor) in einem zweidimensionalen
(abstrakten) Vektorraum (dem Hilbertraum) repräsentiert,
- jede Observable wird durch ein Paar orthogonaler Richtungen (oder Einheitsvektoren) dargestellt, und
- Wahrscheinlichkeiten für Messausgänge werden, wie oben beschrieben, aus den auftretenden
Winkeln (oder Projektionen) bestimmt
eine systematische Ordnung ("Theorie") in die Beobachtungsdaten gebracht werden.
Im Grunde genommen ist damit die Entdeckung der
Quantentheorie nachgespielt.
Die klassischen Gickse entsprechen nicht ganz der Wirklichkeit.
Um die Sache zu vereinfachen, kann jede Gicks-Observable auch im klassischen Fall
nur zwei mögliche Werte annehmen. Dabei können diese Werte in beliebiger Kombination
auftreten. Das entspricht nicht ganz dem Verhalten von Vektorkomponenten:
Die Projektionen eines ebenen Vektors in vier linear unabhängige Richtungen
können nicht frei vorgegeben werden. Zudem wäre der Betrag des klassischen
Spinvektors (den es als konsistentes Konzept überdies nicht gibt) immer konstant,
nämlich 1/2 mal der Planckschen Konstante.
All das ignoriert zu haben, ist hoffentlich eine verzeihliche Vereinfachung.
|