Quanten-Gickse: Hintergrund

Die Welt der Quanten-Gickse ist einem der einfachsten Quantensysteme, die es gibt, nachempfunden: dem Spinfreiheitsgrad des Elektrons. Jede der vier Observablen entspricht der Spinkomponente in eine Richtung in der x-z-Ebene. Dabei kann man sich die Bewegung des Teilchens entlang der y-Richtung vorstellen. Die Spinkomponente in z-Richtung (sie entspricht der Augen-Observable der Gickse) hat die berühmten Eigenzustände "spin up" (entspricht: beide Augen offen) und "spin down" (entspricht: nur ein Auge offen).


Beziehung zwischen Gicks- und Spin-Zuständen:

Die Observablen Augen, Haare, Ohren und Mund entsprechen den Spinkomponenten sz, s 45°, sx und s- 45° . Sie repräsentieren Messungen des Spins in diese vier Richtungen der x-z-Ebene:


In der Bedeutung von Elektronenspins kann jede dieser vier Observablen in einem (eigenen) Stern-Gerlach-Experiment gemessen werden: Nach Anlegen eines Magnetfelds in die jeweils angegebene Richtung werden die einfallenden Elektronen in zwei Strahlen getrennt: in einem ist die entsprechende Spinkomponente 1/2, im anderen -1/2 (mal der Planckschen Konstante). Salopp formuliert: in einem ist der Spin parallel, im anderen antiparallel zum vorgegebenen Magnetfeld. Wir haben es also hier mit vier verschiedenen Messgrößen zu tun. (Zur Erinnerung: Die Komponenten des Spins in verschiedene Richtungen können - ähnlich wie Ort und Impuls - nicht gleichzeitig scharfe Werte annehmen. Hat eine einen scharfen Wert, so sind die anderen notwendigerweise unbestimmt). Theoretisch gehört zu jeder räumlichen Richtung eine solche Observable. Der Einfachheit halber haben wir die obigen vier herausgegriffen.

Jede dieser vier Observablen besitzt zwei Eigenzustände. Sie sind im folgenden folgenden Diagramm, das den (zweidimensionalen) Hilbertraum des Systems darstellt (der nicht mit der x-z-Ebene verwechselt werden darf), wiedergegeben:


Jeder Zustand entspricht einer Richtung im Hilbertraum (wobei es auf die Orientierung nicht ankommt: unter "Richtung" verstehen wir hier eine Gerade durch den Ursprung), jede Observable entspricht einem Paar zueinander orthogonaler Richtungen (für die hier dieselbe Farbe wie für die entsprechende Observable in der darüberliegenden Abbildung verwendet wurde). Jede Observable entspricht daher einem Paar von Zuständen (ihren Eigenzuständen; das sind jene, in denen sie einen scharfen Wert hat). Jeder Zustand ist im Diagramm charakterisiert
  • durch eine Farbe, die angibt, von welcher Observable er Eigenzustand ist (d.h. welche der vier Observablen in ihm einen scharfen Wert hat)
  • und eine Zahl (für Spins) bzw. ein Symbol (für Gickse), die diesen Wert darstellt. (Die Eigenwerte für den Spin sind (wie in der Quantentheorie üblich) als 1 und -1 dargestellt; tatsächlich sind sie 1/2 und -1/2 mal der Planckschen Konstante).
Der Gicks-Zustand "Mund lacht" entspricht beispielsweise dem Spin-Zustand, in dem die Spinkomponente s- 45° den Wert 1 hat. Wird in diesem Zustand eine andere Observable, sagen wir "Augen" (entspricht sz), gemessen, so sind zwei Messausgänge möglich:
  • "beide Augen offen" (entspricht 1 oder "spin up"). Das geschieht mit der Wahrscheinlichkeit cos2a, wobei a der Winkel zwischen der Richtung "Mund lacht" und der Richtung "beide Augen offen" ist. Wir lesen ab: a = 67.5° (drei Viertel des rechten Winkels), daher ist die Wahrscheinlichkeit (gerundet) 0.146.
  • "nur ein Auge offen" (entspricht -1 oder "spin down"). Das geschieht mit der Wahrscheinlichkeit cos2b, wobei b der Winkel zwischen der Richtung "Mund lacht" und der Richtung "nur ein Auge offen" ist. Wir lesen ab: b = 22.5° (ein Viertel des rechten Winkels), daher ist die Wahrscheinlichkeit (gerundet) 0.854.
Das interaktive Gicks-System ist so programmiert, dass die auftretenden Wahrscheinlichkeiten genau diesem Muster entsprechen. Davon abgesehen, dass wir
  • lediglich vier Observable und die zugehörigen acht Eigenzustände betrachten und
  • jeden Bezug zu komplexen Zahlen vermieden haben,
verhalten sich die Gickse genauso wie Elektronenspins, stellen also die Simulation eines "echten" quantenmechanischen Systems dar.


Zur Struktur der Quantentheorie:

Anhand des Gicks-Systems können die wesentlichen Strukturelemente der Quantentheorie illustriert werden:

Zunächst ist es praktisch, Zustände als (Einheits-)Vektoren ("Zustandsvektoren") im Hilbertraum darzustellen (wobei man dann allerdings bedenken muss, dass der jeweils entgegengesetzte Vektor dieselbe Richtung, also auch denselben Zustand repräsentiert). So könnte man beispielsweise die drei Zustände
  • "beide Augen offen" (spin up),
  • "nur ein Auge offen" (spin down) und
  • "Ohren fliegen" (Spinkomponente in x-Richtung ist 1)
im Hilbertraum so darstellen:


Hier wird eine für das klassische Denken befremdliche Beziehung zwischen diesen drei Zustandsvektoren sichtbar: Der Zustandsvektor für "Ohren fliegen" ist eine Linearkombination der beiden Augen-Zustandsvektoren (in diesem Fall einfach 2 -1/2 mal ihrer Summe). Die relative Lage dieser drei Vektoren zueinander hat eine physikalische Bedeutung: Wird die Observable "Augen" im Zustand "Ohren fliegen" gemessen, so sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Messausgänge - wie oben beschrieben - durch die Winkel zwischen den entsprechenden Zustandsvektoren bestimmt. Der Cosinus des Winkel zwischen zwei Einheitsvektoren ist aber nichts anderes als die Länge der Projektion des einen auf den anderen. Zeichnen wir die beiden Projektionen, um die es geht, ein:


Die Wahrscheinlichkeit für den Messausgang "beide Augen offen" ist das Quadrat der Länge der Strecke a, die Wahrscheinlichkeit für den Messausgang "nur ein Auge offen" ist das Quadrat der Länge der Strecke b. (In diesem Fall sind beide Ausgänge gleich wahrscheinlich, da a2 = b2 = 1/2).

Drehen wir nun den Spieß um und nehmen an, eine große Menge von Beobachtungsdaten (aus denen sich die Wahrscheinlichkeiten für Messausgänge verschiedener Observablen in verschiedenen Zuständen gewinnen lassen), liege vor. Dann kann durch die drei Annahmen
  • jeder Zustand ist durch eine Richtung (oder einen Einheitsvektor) in einem zweidimensionalen (abstrakten) Vektorraum (dem Hilbertraum) repräsentiert,
  • jede Observable wird durch ein Paar orthogonaler Richtungen (oder Einheitsvektoren) dargestellt, und
  • Wahrscheinlichkeiten für Messausgänge werden, wie oben beschrieben, aus den auftretenden Winkeln (oder Projektionen) bestimmt
eine systematische Ordnung ("Theorie") in die Beobachtungsdaten gebracht werden. Im Grunde genommen ist damit die Entdeckung der Quantentheorie nachgespielt.
 

Die klassischen Gickse entsprechen nicht ganz der Wirklichkeit. Um die Sache zu vereinfachen, kann jede Gicks-Observable auch im klassischen Fall nur zwei mögliche Werte annehmen. Dabei können diese Werte in beliebiger Kombination auftreten. Das entspricht nicht ganz dem Verhalten von Vektorkomponenten: Die Projektionen eines ebenen Vektors in vier linear unabhängige Richtungen können nicht frei vorgegeben werden. Zudem wäre der Betrag des klassischen Spinvektors (den es als konsistentes Konzept überdies nicht gibt) immer konstant, nämlich 1/2 mal der Planckschen Konstante. All das ignoriert zu haben, ist hoffentlich eine verzeihliche Vereinfachung.