Hypertextstruktur für CD-ROM Mathematik

Das Projekt "Hypertextstruktur für CD-ROM Mathematik" ist Teil des multimedialen Entwicklungsprojekts "CD-ROM Mathematik", das die Erstellung eines einheitlichen Lernmediums für Regelschule (AHS und BHS Oberstufe), Erwachsenenbildung (insbedondere Studienberechtigungsprüfung und Berufsreifeprüfung; mit besonderer Eignung zum Fern- und Selbststudium) und einzelne Universitätsstudien zum Ziel hat. Was die Regelschule betrifft, soll es sowohl für den Unterricht als auch zum Nachlernen (Nachhilfe) geeignet sein.

Die Grundkonzeption besteht in der Einheit verschiedener Ebenen, die sich in allen Kapiteln wiederfinden, und innerhalb derer jeweils verschiedene Möglichkeiten angesiedelt sind, das elektronische Medium zur Unterstützung des Lernprozesses zu nützen. Die Ebenen sind

• Text 1, Text 2
• Demonstrationsbeispiele
• Beispiele 1, Beispiele2
• Fehler
• Wissenswertes, Historisches, Literatur, Notizen

Die Ansiedlung einer eigenen Fehlerebene verrät vielleicht am ehesten unseren persönlichen didaktischen Stil: In häufig gemachten "Fehlern" steckt strukturelles Denken, und daraus läßt sich lernen. Hier kann auf systematische Weise die mathematische Reflexion mit den interaktiven Möglichkeiten des Mediums verbunden werden.

Die Ebenen Wissenswertes mit besonderer Betonung alltagsrelevanter Bezüge mathematischer Strukturen und Historisches dienen - neben der Allgemeinbildung und dem Ansprechen weiterer Benützergruppen - der zusätzlichen Motivierung.

Die Kapitel- und Ebeneneinteilung folgt weitgehend einem Modulsystem, wodurch das Produkt auf eine effiziente Einbeziehung zukünftiger Veränderungen und Erweiterungen hin (insofern "offen") konzipiert ist. Weiters wird es mit zusätzlichen Werkzeugen (Computer-Algebra-System, Graphik-Programm, Statistikprogramm, Taschenrechner, Lexikon) ausgestattet werden.

Die CD-ROM soll verschiedensten Motivations- und Lerntypen gerecht werden, d.h. sowohl Personen, die sich direkt von der Beschäftigung mit formalen Strukturen und Formeln (Textebene) her ansprechen lassen, als auch solchen, für die Visualisierungen und aktives (hier: interaktives) Handeln (Beispielebene), Selbstkritik (Fehlerebene) oder außermathematische Fragen (Ebenen für Wissenswertes und Historisches) als stimulierende Motivationen notwendig sind. Die Darstellung wird sich auch an schwächeren SchülerInnen und an Menschen, die den Zweiten Bildungsweg einschlagen, orientieren und entsprechend einfühlsam gestaltet sein.

Der Verband Wiener Volksbildung beteiligt sich (mit einer Summe von öS 100 000.-) und wird eine Testphase der CD-ROM in Kursen des zweiten Bildungsweges (Studienberechtigungsprüfung und Berufsreifeprüfung) ermöglichen. Den Vertrieb und die Bewerbung wird der Verlag Hölder-Pichler-Tempsky übernehmen. Außerdem wurden einige Unternehmen der österreichischen und der internationalen Wirtschaft um Unterstützung im Rahmen ihrer Sponsoringaktivitäten ersucht. Hier stehen definitive Zusagen (bis August 1997) noch aus.

• 1. Entwurf eines die logische Strukturierung des Stoffs didaktisch unterstützenden Hypertextsystems. Darunter ist die Einbindung der Kapitelstruktur in ein übersichtliches und dem Verstehensprozeß entgegenkommendes Navigationssystem zu verstehen, vor allem im Hinblick auf das Selbststudium. Die hauptsächliche Technik, die über die Möglichkeiten eines Printmediums hinausgeht, besteht in der Verwendung von Hyperlinks (ähnlich der im World Wide Web üblichen), die Vor-, Zurück- und Quersprünge zwischen Kapiteln und Ebenen erlaubt. Dieser Teil ist das gegenständliche Projekt "Hypertextstruktur für CD-ROM Mathematik".
• 2. Ausgestaltung des Texts (Textebenen 1,2 sowie Fehlerebene) auf Basis der in Punkt 1 entwickelten Grundstruktur.
• 3. Ausgestaltung der Beispiele (Demonstrationsbeispiele und Beispiel-Ebenen 1,2) auf Basis der in Punkt 1 entwickelten Grundstruktur.
• 4. Entwicklung der weiteren Ebenen (Formelsammlung, Wissenswertes, Historisches, Literatur, Notizen) auf Basis der in Punkt 1 entwickelten Grundstruktur.
• 5. Einbindung (und, soweit notwendig, Entwicklung) der Werkzeuge (Computer-Algebra-System, Graphik-Programm, Statistikprogramm, Taschenrechner, Lexikon). Falls möglich, wird man auf Shareware oder lizensierte kommerzielle Programme zurückgreifen.
• 6. Entwicklung eines zweckdienlichen Suchsystems, das sich, soweit möglich, an der in Punkt 1 entwickelten Grundstruktur und an dem in Punkt 5 erwähnten Lexikon orientiert.
• 7. Ausgestaltung eines Rückmeldungs- und Lernkontrollsystems.
• 8. Ausgestaltung von Elementen, die den Einsatz der CD-ROM in Comupternetzwerken, d.h. in Unterrichtssituationen, didaktisch sinnvoll machen.
• 9. Curriculumauswahl. Gestaltung eines Systems, das es erlaubt, verschiedene Curricula (Stoffumfang für verschiedene Schultypen und Bildungsziele, z.B. Studienberechtigungsprüfung) anzuwählen. Obwohl wichtig für die Benützerfreundlichkeit des Produkts, wird gerade dieser Punkt erhebliche programmtechnische Probleme bereiten. Es versteht sich, daß ein solches System nur einen groben überblick geben kann.
• 10. Ausgestaltung der graphischen Oberfläche unter dem vorrangigen Blickwinkel der Benützerfreundlichkeit.
• 11. Testphase in Zusammenarbeit mit AHS-Lehrern und Einrichtungen der Erwachsenenbildung.
• 12. Evaluation und Nachbearbeitung.

Das elektronische Medium bietet eine strukturelle Gestaltungsmöglichkeit, die im Schlagwort "Navigationssystem" zusammengefaßt werden kann. Vereinfacht gesagt, geht es dabei um die Möglichkeit, mit Hilfe von Hyperlinks (die ähnlich wie im World Wide Web funktionieren) Rückgriffe auf frühere (logisch vorgelagerte) Stoffteile - die ja auch in der konventionellen Buchform theoretisch gegeben sind - erheblich zu vereinfachen. Möglichkeiten, gezielt auf frühere Stoffteile zuzugreifen, sind von zentraler Bedeutung für Benützer, die auf transparente Weise über die notwendigen "Voraussetzungen" für den jeweils bearbeiteten Abschnitt informiert werden wollen. Dadurch verbessert sich die Möglichkeit, an beliebiger Stelle in das Medium einzusteigen. Klarerweise sind aber auch Vorgriffe und Querverweise möglich.

Einerseits handelt es sich bei einem derartigen Einsatz der Hypertext-Technologie um eine schlichte Hilfe, die langes Blättern in Stichwortverzeichnissen und das Suchen nach Querverweisen zu einem großen Teil überflüssig macht.

Andererseits kann bei gezielter, didaktisch fundierter Plazierung dieser Verbindungen der logische Aufbau der Präsentation unterstrichen werden. Vereinfacht gesagt: die "logische Struktur der Mathematik" selbst, ebenso wie der "momentane Standort" im Hinblick auf das logische Ganze des Stoffs, können durch ein gezielt entwickeltes Hypertext-Design unterstrichen und vom Lernenden besser verstanden werden. Es versteht sich, daß dabei eine inflationäre Verwendung von Hyperlinks (wie sie leider vom World Wide Web, aber auch von CD-ROM-Produkten her bekannt ist) vermieden werden muß. Diese Möglichkeiten dringen zunehmend ins Bewußtsein des an einem pädagogisch sinnvollen Einsatzes sogenannter "Network Technologies" interessierten Personenkreises, vor allem in den angelsächsischen Ländern. Auf allgemeiner pädagogischer Ebene existieren zahlreiche Anregungen, einzelne theoretische Beiträge und Erfahrungsberichte, die sich sowohl in Printmedien wie auch am World Wide Web verstreut finden. Einen Ausschnitt des gegenwärtigen Standes bieten etwa die vom U.S. Department of Education zusammengestellte Sammlung von Aufsätzen [1] und die Dokumente "Communicating Mathematics with Hypertext" der University of Minnesota [2]. Die vom britischen National Council for Educational Technology zur Verfügung gestellten Texte [3] (insbesondere die Abteilung "CD-ROM in Schools Scheme" [4]) zeigen die bereits vorhandene technische Vielfalt der diesbezüglichen Software und erste Erfahrungen ihrer Aufnahme in den Erziehungsbereich. Insgesamt wurde allerdings noch kaum eine systematische Spezialisierung auf die Didaktik der Mathematik vorgenommen.

Die Entwicklung eines Netzes von Hyperlinks, die an für den Verstehensprozeß zentralen Positionen des Stoffgebäudes verankert sind, sowie ihre benützerfreundliche Kennzeichnung, sind Gegenstand des Projekts "Hypertextstruktur für CD-ROM Mathematik". Der theoretische Grundgedanke ist dabei, sich auf diese Weise eine gewisse strukturelle Verwandschaft zwischen dem Charakter des Stoffs und seiner Einbindung in das elektronische Medium zunutze machen. Letzteres wird dann nicht nur ein für den Benützer bequemes Medium, sondern erleichtert entscheidend den im Zentrum stehenden mathematischen Erkenntnisprozeß, der das wesentliche Ziel jeglichen Mathematikunterrichts bildet. Die Hypertextstruktur einer multimedialen Lernhilfe erhält somit eine direkte didaktische Funktion.

Wenn vom logischen Ganzen des Stoffs die Rede war, so ist dies natürlich ein problematischer Begriff. Wird der Stoff grob in einzelne, nicht allzu viele Kapitel unterteilt, so ist eine logische Aufstellung, etwa nach dem Muster eines Baumdiagramms, nicht möglich. (Beispiel Winkelfunktionen: Nach einer elementaren Einführung, die eine Plazierung dieses Kapitels vor den Kapiteln über Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, analytische Geometrie und komplexe Zahlen ermöglicht, werden in all diesen erwähnten späteren Kapiteln weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen besprochen und hinzugefügt).

Andererseits kommt eine klare Unterteilung in Kapitel, unterstützt durch eine graphische Ansicht ("Orientierungsplan"), dem Benützer entgegen. Daher ist der Stoff in zwei "Ebenen" gruppiert, die einerseits dem groben Schema "leicht" (Ebene 1) und "schwer" (Ebene 2) entspricht, andererseits aber dem Problem des logischen Aufbaus Rechnung trägt: Innerhalb der Ebene 1 soll so vorgegangen werden, daß der Stoff in logischer Hinsicht tatsächlich durch einen graphischen Orientierungsplan dargestellt werden kann. Ein Beispiel für einen solchen Plan stellt Abbildung 1 dar. (Er versteht sich noch nicht als endgültige Version und umfaßt nur einen Teil der Kapitel. Die logischen Pfeile gelten, wie gesagt, in erster Linie für die "leichteren" Text- und Beispielebenen 1). Es ist uns bewußt, daß hierbei Mehrdeutigkeiten bestehen und die realisierte Lösung nur ein Kompromiß zwischen verschiedenen Gesichtspunkten sein kann. (So ist es z.B. möglich, die komplexen Zahlen ohne logischen Bezug auf das "frühere" Kapitel Vektorrechnung zu behandeln, ja die wenigen benötigten Elemente der zweidimensionalen Vektorrechnung eigens dort zu entwickeln, was eine änderung der Graphik in Abbildung 1 implizieren würde. Ebenso gibt es für das Verhältnis der Kapitel Wahrscheinlichkeit und Statistik verschiedene didaktische Zugänge). Im Falle von Wiedervereinigungen früherer Verzweigungen sind im Prinzip alle vorgelagerten Kapitel als Voraussetzungen anzusehen. Jedoch soll die Auslassung einzelner dieser früheren Kapitel (z.B. Winkelfunktionen oder Exp + Log als Voraussetzung für Differentialrechnung in Abbildung 1) in der Praxis durch eine klare Gliederung des Stoffs und entsprechende Anmerkungen in einem gewissen Ausmaß möglich sein. Das in Ebene 1 behandelte Stoffgebiet ist generell eher knapp gehalten. Der Orientierungsplan soll darüberhinaus zum Anwählen gewünschter Stellen (Abbildung 1 stellt beispielhaft dar, wie die Beispielebene 2 des Kapitels Differentialrechnung angewählt wird) sowie für weitere Zwecke (Abfrage des Ziels von Hyperlinks - siehe unten, Darstellung der bisher absolvierten Stoffabschnitte mit Erfolgskontrolle, Ausklammerung einzelner Kapitel für bestimmte Curricula) genützt werden.

Auf der Basis dieses groben Schemas (Kapitel, Ebenen) kann die Hyperlinkstruktur entwickelt werden. Hierbei ist folgendes zu beachten:

• Hyperlinks können generell in Rückgriffe (abgekürzt R), Vorgriffe (V) und Querverweise (Q) eingeteilt werden, je nach ihrer Lage relativ zum zugrundegelegten logischen Baum. Wie oben ausgeführt, gilt die Strukturierung des Plans nur für Ebene 1. Generell wird Ebene 2 als logisch nach Ebene 1 desselben Kapitels behandelt, die Ebenen 2 zu verschiedenen Kapiteln als voneinander unabhängig. Insgesamt werden Rückgriffe die wichtigste Art von Hyperlinks darstellen, da sie erlauben, die notwendigen Voraussetzungen für den jeweils bearbeiteten Abschnitt aufzufinden. Vorgriffe und Querverweise sollen eine allfällige Bereitschaft zur Zusammenschau des Stoffgebäudes unterstützen.
• Hyperlinks aller drei Arten sollen aufgrund ihrer didaktischer Aufgabe ausgewählt werden, wobei die Rückgriffe die sensibelsten sind. Die Struktur dieser R-Hyperlinks wird wesentlich mitentscheiden, wie gut sich die CD-ROM in der Praxis für das Fern- und Selbststudium sowie zum Nachlernen und für Nachhilfezwecke eignen wird. Generell soll mit Hyperlinks sparsam umgegangen werden. Es bieten sich auch dann noch sehr viele Möglichkeiten zu Verweisen an.
• Es müssen klare "Verankerungspunkte" für Hyperlinks geschaffen werden. Es erscheint nicht zielführend, den Benützer bei einem Rückgriff auf einen unstrukturierten Textteil zu führen, in dem sich das gesuchte Stichwort findet. (Eine Suche nach Stichworten im Text soll mittels des in Punkt 6 erwähnten Suchsystems möglich sein). Daher wird vorab eine "Feinstruktur" des Texts in Knoten festgelegt (aus welchen sich wiederum für den Benützer gekennzeichnete Abschnitte zusammensetzen). Die Knoten, neben ihrer jeweiligen lokalen didaktischen Funktion, auch ausdrücklich hinsichtlich ihrer Eignung, Ziel von Hyperlinks zu sein, gestaltet. Manche dieser Knoten werden die traditionelle Form hervorgehobener "Kästen" annehmen, in denen wichtige Aussagen "merksatzartig" wiedergegeben sind.
• Der Sinn aller Hyperlinks wird für den Benützer durch eine kurze sprachliche Beschreibung kenntlich gemacht. (Etwa zu Beginn des Kapitels Extremwerte, in das wohl viele Benützer einsteigen werden, ohne die vorgelagerten Kapitel durchgearbeitet zu haben: "Wenn Sie sich nicht sicher sind, was eine Funktion ist, können Sie dies im Kapitel Funktionen nachlesen - klicken Sie hier"). Hierbei ist sicherzustellen, daß der funktionalen Bedeutung der beiden Ebenen sprachlich Rechnung getragen wird. Insbesondere ist eine einheitliche "Sprachregelung", wie etwa die Formulierungen "früher, in Kapitel ... ", "später, in Kapitel ..." einzusetzen sind, notwendig. Eine separate Beschreibung dieser Struktur wird sich auf dem Produkt finden (wiewohl klar sein muß, daß nicht alle Benützer sie lesen werden).
• Als zusätzliche, die Zusammenschau erleichternde Unterstützung soll es möglich sein, jeden Hyperlink auf sein Zielkapitel und seine Zielebene im Rahmen des graphischen Orientierungsplans abzufragen, ohne sogleich das entsprechende Dokument zu öffnen. Ein Beispiel ist in Abbildung 2 dargestellt. So kann der Benützer beispielsweise schnell abschätzen, welche der Rückgriffe er überhaupt vornehmen will.
• Die hier beschriebenen Prinzipien für den Einsatz von Hyperlinks beziehen sich vor allem auf die Textebenen. Tatsächlich sind auch die anderen Ebenen in die Hypertextstruktur einzubeziehen. Insbesondere sollen die Hyperlinks Text <--> Beispiele innerhalb eines Kapitels (die, von der didaktischen Funktion her gesehen, einen eigenen Typ darstellen) dem Benützer jeweils vorschlagen, "was der nächste Schritt ist". Sie sind von besonderer Wichtigkeit: Hier unterstützt die Hypertext-Technologie gewissermaßen die Verbindung zwischen mathematischer Theorie und Beispielrechnen. Die Herstellung dieser Verbindung ist in der Schulpraxis (und auch bei den üblichen Formen des Nachhilfeunterrichts) extrem schwierig.
• Insgesamt ist also zunächst auf einer "Metaebene" die Knoten- und Hypertextstruktur zu entwickeln. Aufgrund dieser Struktur werden dann die konkreten Textpartien ausformuliert und Beispiele gestaltet (obige Punkte 2 - 4). Ist das Grundgerüst ausgewiesen und transparent dokumentiert, so wird es nicht allzu schwer sein, nachträgliche Adaptionen vorzunehmen (vgl. Punkt 12 oben).

• Kurze Wiederholung: Funktionen (R --> Funktionen; die dazugehörige Hyperlink-Abfrage ist in Abbildung 2 dargestellt).
• Kurze Wiederholung: Graph (R --> Funktionen).
• Kurze Wiederholung: Ableitung und Tangente (R --> Differenzieren).
• überleitung zur Problemstellung mittels einer interaktiven Graphik: Tangente an einen Graphen. (Der x-Wert kann mittels eines scroll-bars verschoben werden; f(...)=... und f'(...)=... werden angezeigt. Die Sprechweise "an der Stelle" wird eigens betont, um auf die besonders in diesem Gebiet häufige und folgenreiche Verwechslung der drei Begriff Stelle x, Wert f(x) und Punkt (x,f(x)) einzugehen).
• Zusammenhang "waagrechte Tangente" <--> f'(x)=0 <--> lokales Minimum, lokales Maximum, Sattelpunkt.
• Einfache Problemstellung: f'(x)=0 als Gleichung für x
• Veranschaulichung anhand quadratischer Funktionen (R --> quadratische Funktionen im Kapitel Potenzen; R --> Parabel im Kapitel Potenzen; R --> Ableitung von x^2 im Kapitel Differenzieren) und Polynomfunktionen dritter Ordnung (R --> quadratische Gleichungen im Kapitel Gleichungen; R --> Ableitungsregel für x^n im Kapitel Differenzieren).
• Sicherstellen, daß f bei x ein Maximum/Minimum hat durch Wertevergleich und mathematische ("beweistechnische") Argumentation
• Sicherstellen, daß f bei x ein Maximum/Minimum hat mittels der zweiten Ableitung. Dieselbe interaktive Graphik wie oben, wobei nun zusätzlich f''(...)=... (und sein Vorzeichen) angezeigt wird. Zusatzfrage: wann ist f''(x)=0 ? (Q --> Wendetangente im Kapitel Kurvendiskussion).
• Zusammengesetztes Problem (2 Variable, Zielfunktion, Nebenbedingung) anhand eines Beispiels.
• Zusammengesetztes Problem in allgemeiner Formulierung. Lösungsprozedur und ihre Mehrdeutigkeit (Variablenwahl).
• Dinge, die das Leben erleichtern (z.B. F(f(x)) statt f(x) betrachten, was in der Praxis meistens das Weglassen einer Quadratwurzel bedeutet).
• Dinge, auf die man aufpassen muß (z.B. Definitionsbereich, Min/Max am Rand eines Gebiets).

Die Tendenz zu verschiedenen Formen des Selbst- und Fernstudiums (auf jeden Fall in der Erwachsenenbildung, möglicherweise sogar im Regelschulsystem) entspricht einem globalen Trend. In manchen Situationen (insbesondere im Zweiten Bildungsweg, der oft von Menschen eingeschlagen wird, die die meisten - auch inneren - Bezüge zu ihrer Schulzeit bereits verloren haben, wird das multimediale Lehrmittel die Beschäftigung mit Mathematik auf dem erforderlichen Niveau erst ermöglichen.

Nicht zuletzt aus Gründen einer möglichst weitgehenden Chancengleichheit aller an mathematischer Bildung interessierter Menschen erscheint es sinnvoll, ein einheitliches Lehrmittel zu entwickeln, das dem vollen AHS- und BHS-Niveau Rechnung trägt, sinnvolle Erweiterungen für einzelne Universitätsstudien enthält und es erlaubt, die erforderliche Tiefe der Durchdringung des Stoffs dem jeweiligen Bildungsziel anzupassen. Für das gesamte Spektrum von Einsatzmöglichkeiten eines derartigen Produkts besteht eine steigende Nachfrage.