Aufgabe: Sei $G$ die obere Hälfte der Kugel mit dem Ursprung als Mittelpunkt
und Radius $R$, und sei $f(\vec{x})=z^2$. Berechnen Sie $\int_G d^3x\,f$ !
Berechnung:
- Wir sammeln zuerst die Informationen, die nötig sind, um das Integral anschreiben zu kö:nnen:
- In Kugelkoordinaten (für die generell $r\geq 0$, $0\leq\theta\leq\pi$ und $0\leq\varphi\leq 2\pi$ gilt)
ist $G$ durch die zusätzlichen Bedingungen $r\leq R$ und $\theta\leq\pi/2$ charakterisiert.
- Wir erinnern uns, dass $d^3x=dr\,r^2\,d\theta\,\sin\theta\,d\varphi$ gilt.
- Da $z=r\cos\theta$ gilt, ist der Integrand $f$ gleich $r^2\cos^2\theta$.
- Das Volumsintegral ist daher
$$\int_G d^3x\,f=\int_0^R dr\,r^2\int_0^{\pi/2}d\theta\,\sin\theta\int_0^{2\pi}d\varphi\,r^2\,\cos^2\theta=
\underbrace{\int_0^R dr\,r^4}_{\LARGE\frac{R^5}{5}}
\underbrace{\int_0^{\pi/2}d\theta\,\,\cos^2\theta\,\sin\theta}_{\LARGE\frac{1}{3}}
\underbrace{\int_0^{2\pi}d\varphi}_{\Large 2\pi}
=\frac{2\pi R^5}{15}$$
Das mittlere Integral kann dank der Identität
$$\frac{d}{d\theta}\left(\cos^3\theta\right)=-3\,\cos^2\theta\sin\theta$$
zu
$$\int_0^{\pi/2}d\theta\,\,\cos^2\theta\,\sin\theta=\left.-\frac{1}{3}\cos^3\theta\,\right|_0^{\pi/2}=
-\frac{1}{3}\left(\cos^3\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos^3(0)\right)=
-\frac{1}{3}\left(0-1\right)=\frac{1}{3}
$$
berechnet werden. Merken Sie sich diesen Trick! Er erlaubt es, jede Funktion der Form
$F(\cos\theta)\sin\theta$ zu integrieren, sofern eine Stammfunktion von $F$ bekannt ist. (Im obigen Integral ist
$F(\cos\theta)=\cos^2\theta$, d.h. die Funktion $F$ ist einfach durch $F(x)=x^2$ gegeben).
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