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Aufgabe: Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahl $z={2+i\over 1-i}$ ! Berechnungsmöglichkeit 1: Wir verwenden die Formel
Um ${\rm Re}(z)$ und ${\rm Im}(z)$ zu finden, erweitern wir den Bruch mit dem komplex Konjugierten des Nenners: $$z={2+i\over 1-i}={(2+i)(1+i)\over (1-i)(1+i)}={2+3i+i^2\over 1-i^2}={1+3i\over 1+1}={1+3i\over 2}\equiv {1\over 2}+{3\over 2}\,i$$ Damit wird $$|z|=\sqrt{\left({1\over 2}\right)^2+\left({3\over 2}\right)^2}= \sqrt{{1\over 4}+{9\over 4}}=\sqrt{10\over 4} =\sqrt{5\over 2}$$ Berechnungsmöglichkeit 2: Wir verwenden die Formel $$|z|^2=z^* z$$ Damit wird $$|z|^2=z^* z={2-i\over 1+i}\,\,{2+i\over 1-i}={4-i^2\over 1-i^2}={4+1\over 1+1}={5\over 2}$$ woraus sich ebenfalls $$|z|=\sqrt{5\over 2}$$ ergibt. Berechnungsmöglichkeit 3: Wir verwenden die Tatsache, dass der Betrag eines Quotienten der Quotient der Beträge ist und wenden zweimal die Formel (1) an: $$|z|=\left|{2+i\over 1-i}\right|={\,\,|2+i|\,\,\over |1-i|}={\sqrt{2^2+1^2}\over \sqrt{1^2+1^2}}={\sqrt{5}\over \sqrt{2}}=\sqrt{5\over 2}$$ Sie sehen: Mit ein bisschen Theorie im Hinterkopf werden die Dinge oft einfacher! |