Differentialgleichung 1


Franz Embacher

Fakultät für Physik der Universität Wien

 
Aufgabe: Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $\ddot{x}(t)-5\,\dot{x}(t)+6\,x(t)=0$ !

Berechnung: Der Exponentialansatz $x(t)=e^{rt}$ führt auf $$r^2e^{rt}-5\,r\,e^{rt}+6\,e^{rt}=0$$ also $$\left(r^2-5\,r+6\right)e^{rt}=0$$ und daher auf die charakteristische Gleichung $$r^2-5\,r+6=0$$ Ihre Lösungen sind $$r_{1,2}={5\over 2}\pm\sqrt{\left(5\over 2\right)^2-6}={5\over 2}\pm{1\over 2}$$ also $r_1=2$ und $r_2=3$. Damit sind zwei linear unabhängige Lösungen $e^{2t}$ und $e^{3t}$ gefunden. Da die gegebene Differentialgleichung linear-homogen ist, lautet ihre allgemeine Lösung $$x(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{3t}$$

Nachbemerkung: Beachten Sie, wie die Symbole ($x$ für die gesuchte Funktion, $t$ für die unabhängige Variable) durchgehalten werden! Es gibt keinen Grund, $t$ in $x$ umzubenennen, d.h. keinen Grund, den Expoentialansatz mit $e^{rx}$ zu bezeichnen! Die allgemeine Lösung in der Form $$x(t)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}$$ anzuschreiben, liegt irgendwo zwischen irreführend und falsch, und $$y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}$$ kann nur dann als Lösung gelten, wenn dazugesagt wird, dass der Funktionsname $x$ (völlig unnötigerweise) in $y$ umbenannt wurde.


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